%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　方程式 $x^3-2x+k=0$ は，$k$ がどんな値をとるとき重根をもつか．
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=x^3-2x+k$とする。\\
$f(x)=0$が重根を持つということは、\\
$f'(x)=0$の点で解をもつということ\\
$f'(x)=3x^2-2=0$を解くと\\
$$x=\pm\sqrt{\dfrac{2}{3}}$$
このとき$f(x)=0$となればいいので
$f(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})=0$
\begin{eqnarray*}
f(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})
&=&(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})^3-2(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})+k=0
\end{eqnarray*}
よって
\begin{eqnarray*}
k&=&-(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})^3+2(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})\\
&=&-(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})(\dfrac{2}{3})+2(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})\\
&=&(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})(2-\dfrac{2}{3})\\
&=&(\pm \sqrt{\dfrac{2}{3}})(\dfrac{4}{3})
\end{eqnarray*}
よって
$$k=\pm \dfrac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$$
\end{document}

