%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
数学的帰納法によって，$\Bigl(\dfrac{n+1}{2}\Bigr)^n>n !$ を証明せよ．\\
ここに $n$ は 2 以上の整数とする．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(n)=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n$\quad$g(n)=n!$とする。\\
\\
$n=2$の時\\
$f(2)-g(2)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2!=\left(\dfrac{9}{4}\right)-2=\dfrac{1}{4} > 0$\\
よって$f(2)>g(2)$\\
したがって$n=2$のとき不等式は成り立つ。\\
\\
$n=k-1$のとき成り立つと仮定すると\\
$n=k$のとき\\
$f(k)=\left(\dfrac{k+1}{2}\right)^k$\\
$f(k-1)=\left(\dfrac{k}{2}\right)^{k-1}$\\
$kf(k-1)=\left(\dfrac{k^k}{2^{k-1}}\right)$\\
となる。\\
\\
ここで$\dfrac{f(k)}{kf(k-1)}$を考える。\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{f(k)}{kf(k-1)}
&=&\left(\dfrac{(k+1)^k}{2^k}\right)\left(\dfrac{2^{k-1}}{k^k}\right)\\
&=&\left(\dfrac{(k+1)^k2^{k-1}}{2^kk^k}\right)\\
&=&\left(\dfrac{(k+1)^k}{2k^k}\right)\\
&=&\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{k+1}{k}\right)^k\\
&=&\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\\
\end{eqnarray*}
$\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k$を２項展開すると\\
\begin{eqnarray*}
& &\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\\
&=&\dfrac{1}{2}\Bigl(1+\binom k1 \left(\dfrac{1}{k}\right)^1+\binom k2 \left(\dfrac{1}{k}\right)^2+\binom k3 \left(\dfrac{1}{k}\right)^3+\\
& &\cdots+\binom k{k-1} \left(\dfrac{1}{k}\right)^{k-1}+\left(\dfrac{1}{k}\right)^k\Bigr)\\
&=&\dfrac{1}{2}\Bigl(1+1+\dfrac{k(k-1)}{2!} \left(\dfrac{1}{k}\right)^2+\dfrac{k(k-1)(k-2)}{3!} \left(\dfrac{1}{k}\right)^3+\\
& &\cdots+\dfrac{k(k-1)\cdots(2)}{(k-1)!} \left(\dfrac{1}{k}\right)^{k-1}+\left(\dfrac{1}{k}\right)^k\Bigr)\\
\end{eqnarray*}
ここで右辺の括弧内の項はすべて正なので括弧内は始めの２項の和$2$より大きい\\
したがって右辺は1より大きい\\
つまり
$\dfrac{f(k)}{kf(k-1)}>1$\\
$f(n)>0$より$kf(k-1)$を両辺にかけても不等号は変わらないので\\
$f(k)>kf(k-1)$\\
仮定より\\
$kf(k-1)>kg(k-1)=g(k)$なので\\
$$f(k)>kf(k-1)>g(k)$$
以上より$n=k-1$のとき成立すると仮定すれば、$n=k$のときも成立する。\\
よって数学的帰納法より\\
$\Bigl(\dfrac{n+1}{2}\Bigr)^n>n !$ は$n \geqq 2$において成立する。
\end{document}
