%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
BCは円Oの定弦で，その長さは $a$，またAはこの円の周上の動点とする．\\
このような $\triangle\text{ABC}$ において，\\
頂点A，B，Cから対辺におろした垂線の長さをそれぞれ $h$，$k$，$l$ とするとき，\\
$\dfrac{kl}{h}$ は一定であることを証明せよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
辺BC,AC,ABの長さをそれぞれ、$a,b,c$とおく\\
三角形ABCの面積を$S$とすると\\
$S=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{bk}{2}=\dfrac{cl}{2}$\\
\\
また頂点Aの角を$\theta$としたとき\\
$k=c\sin\theta$ \ $l=b\sin\theta$\\
$kl=bc\sin^2\theta$\\
$\dfrac{ah}{2}=\dfrac{bk}{2}$より$ah=bk$\\
$h=\dfrac{bk}{a}$\\
$$\dfrac{kl}{h}=\dfrac{abc\sin^2\theta}{bk}=\dfrac{ac\sin^2\theta}{c\sin\theta}=a\sin\theta$$
点Aが小さな弧をはさむ場合$\theta<\pi/2$とする\\
大きな弧をはさむ場合を$\theta_l$とすると\\
$\theta_l=\pi-\theta$\\
このとき$\sin\theta_l=\sin\theta$であるから、\\
大きな弧をはさむ場合も小さな弧をはさむ場合も$\sin\theta$は等しい\\
したがって点Aは一定の弦をはさむ周上の点なので$\sin\theta$は一定\\
また、$a$も一定なので\\
$a\sin\theta$は一定\\
よって$\dfrac{kl}{h}$は一定\\
\end{document}


