%2007/08/29 02:12
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　次の6つの条件をみたす $x$，$y$，$z$ のうち，$z$ を最小にする $x$，$y$，
$z$ の値を求めよ．
\[
 a>2\text{， }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\text{， }x>1\text{， }1<z<2
\text{， }xz\geqq a\text{， }yz\geqq 2
\]
\\
{\large 解答}\\
\\
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$より\\
$\frac{1}{y}=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$\\
$x>1$より$x-1>0$よって\\
$y=\frac{x}{x-1}$\\
$yz \geqq 2$より\\
$\frac{x}{x-1}z\geqq 2$\\
$x>1,x-1>0$より\\
$z \geqq \frac{2(x-1)}{x}$\\
$xz \geqq a$,$x>1$より\\
$z \geqq \frac{a}{x}$\\
$a \geqq 2(x-1)$の範囲、つまり$1<x \leqq \frac{a}{2}+1$では\\
$z \geqq \frac{a}{x}$\\
$x>0$の範囲で$\frac{a}{x}$は単調減少なので
この区間$(1,\frac{a}{2}+1]$において$z$は$x=\frac{a}{2}+1$の点で最小となる。\\
また$x>\frac{a}{2}+1$では\\
$z \geqq \frac{2(x-1)}{x}=2-\frac{2}{x}$\\
$2-\frac{2}{x}$は単調増加なので、$z$は$x=\frac{a}{2}+1$の点で最小となる。\\
よって$x$の全区間において$z$は$x=\frac{a}{2}+1$の点で最小となる\\
\\
$$x=\frac{a}{2}+1$$
そのときの$z$の値は
$$z=\frac{a}{\frac{a}{2}+1}=\frac{2a}{a+2}$$
そのときの$y$の値は
$$y=\frac{x}{x-1}=\frac{\frac{a}{2}+1}{\frac{a}{2}}=\frac{a+2}{a}$$
よってまとめると
$$x=\frac{a}{2}+1,y=\frac{a+2}{a},z=\frac{2a}{a+2}$$

\end{document}

