%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
点 $(a,b)$ は直線 $y=2x-2$ の上にある．直線 $y=2ax-b$ と放物線 $y=x^2$ との囲む部分の面積を求めよ．また，この面積を最小にする $a$ の値を定めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$(a,b)$は$y=2x-2$を満たすので、\\
$b=2a-2$\\
したがって、直線の式は\\
$y=2ax-b=2ax-2a+2$\\
放物線と直線の囲む面積は
\begin{equation}
y=x^2-2ax+2a-2 \label{e.1}
\end{equation}
が$x$軸と囲む面積に等しい\\
(\ref{e.1})と$x$軸の交点の$x$座標は\\
$x^2-2ax+2a-2=0$の解なので\\
その解を$x_1,x_2\ \ (x_1< x_2)$とすると\\
$x_1=a-\sqrt{a^2-2a+2}$\\
$x_2=a+\sqrt{a^2-2a+2}$\\
またこの解は$x^2=2ax-2a+2$を満たす\\

その面積$S(a)$は\\
$$S(a)=\dint_{x_1}^{x_2} x^2-2ax+2a-2\;dx=\left[\frac{x^3}{3}-ax^2+(2a-2)x+C\right]_{x_1}^{x_2}$$
\begin{eqnarray*}
S(a)
&=&\frac{x_2^3}{3}-ax_2^2+(2a-2)x_2-\frac{x_1^3}{3}+ax_1^2-(2a-2)x_1\\
&=&\frac{x_2^3-x_1^3}{3}-a(x_2^2-x_1^2)+(2a-2)(x_2-x_1)\\
&=&(x_2-x_1)\left(\frac{x_2^2+x_2x_1+x_1^2}{3}-a(x_2+x_1)+(2a-2)\right)\\
&=&(x_2-x_1)\frac{2ax_2-2a+2+x_2x_1+2ax_1-2a+2-3a(x_2+x_1)+3(2a-2)}{3}\\
&=&(x_2-x_1)\frac{x_2x_1-ax_2-ax_1+2a-2}{3}\\
\end{eqnarray*}
$x_1,x_2$を代入すると\\
\begin{eqnarray*}
3S(a)
&=&(a+\sqrt{a^2-2a+2}-(a-\sqrt{a^2-2a+2}))\\
& &((a+\sqrt{a^2-2a+2})(a-\sqrt{a^2-2a+2})\\
& &-a(a+\sqrt{a^2-2a+2})-a(a-\sqrt{a^2-2a+2})+2a-2)\\
&=&(2\sqrt{a^2-2a+2})\\
& &((a^2-(a^2-2a+2))\\
& &-a^2-a\sqrt{a^2-2a+2}-a^2+a\sqrt{a^2-2a+2}+2a-2)\\
&=&(2\sqrt{a^2-2a+2})\\
& &(a^2-a^2+2a-2-2a^2+2a-2)\\
&=&(2\sqrt{a^2-2a+2})(-2a^2+4a-4)\\
&=&(2\sqrt{a^2-2a+2})(-2(a^2-2a+2))\\
&=&-4\sqrt{a^2-2a+2}(a^2-2a+2)\\
\end{eqnarray*}
$a^2-2a+2>0$より
$\sqrt{a^2-2a+2}$は実数\\
$x$軸の下の部分を計算したので面積が負になっているが、面積は正なので
$$S(a)=\frac{4}{3}\sqrt{a^2-2a+2}(a^2-2a+2)$$
この値が最小になるのは$a^2-2a+2$が最小になるときなので\\
$f(x)=x^2-2x+2$として\\
２次の係数が１の二次式は、下に凸なので、極値で最小値をとる。\\
したがって、$f'(x)=0$の点で最小となる。\\
$f'(x)=2x-2=0$より\\
$x=1$\\
よって、$S(a)$が最小となるのは
$$a=1$$
\end{document}

