%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$x$ の関数 $f(x)$ のグラフ $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線が，点 $(c,0)$ を通り，$a\neq c$ であるものとする．このとき関数$g(x)=\dfrac{f(x)}{x-c}$ の $x=a$ における微分係数を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
問題より$f(x)$は点$(a,f(a))$で接線が定義できるので\\
$$\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$$が定義できる。\\
したがって$f(x)$の点$a$における接線の傾きは$f'(a)$\\
また、点$(c,0)$通るので\\
接線の式を$y=f'(a)x+b$とすると\\
$0=cf'(a)-b$より$b=-cf'(a)$\\
したがって、接線の式は\\
\begin{equation}
y=f'(a)x-cf'(a) \label{e.1}
\end{equation}

$g(x)$の$x=a$における微分係数$g'(a)$は
$$g'(a)=\dlim_{x \to a} \dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}$$
$$g(x)=\dfrac{f(x)}{x-c}$$
より\\
$a \neq c$なので
$$g(a)=\dfrac{f(a)}{a-c}$$
接線(\ref{e.1})は点$(a,f(a))$を通るので\\
$f(a)=y=f'(a)(a-c)$\\
よって
$$g(a)=\dfrac{f'(a)(a-c)}{a-c}=f'(a)$$
したがって
\begin{eqnarray*}
g'(a)&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{\dfrac{f(x)}{x-c}-f'(a)}{x-a}\\
&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f'(a)(x-c)}{(x-c)(x-a)}\\
&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)+f(a)-f'(a)(x-c)}{(x-c)(x-a)}\\
&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)+f'(a)(a-c)-f'(a)(x-c)}{(x-c)(x-a)}\\
&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{(x-c)(x-a)}\\
&=&\dlim_{x \to a} \dfrac{1}{x-c}\left(\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}-f'(a)\right)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}=f'(a)\\
\dlim_{x \to a} \dfrac{1}{x-c}=\dfrac{1}{a-c}\\
\dlim_{x \to a} f'(a)=f'(a)
\end{eqnarray*}
となりそれぞれ$0$以外の値に収束するので\\
その積と和はそれぞれの値の積と和に収束する\\
したがって
\begin{eqnarray*}
g'(a)&=&\left(\dlim_{x \to a} \dfrac{1}{x-c}\right)\left(\dlim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)}-\dlim_{x \to a} f'(a)\right)\\
&=&\dfrac{1}{a-c}(f'(a)-f'(a))\\
&=&0
\end{eqnarray*}
したがって$g(x)$の$x=a$における微分係数は$0$

\end{document}

