%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
数学的帰納法によって，$\Bigl(\dfrac{n+1}{2}\Bigr)^n>n !$ を証明せよ．\\
ここに $n$ は 2 以上の整数とする．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(n)=\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n$\\
$g(n)=n!$とする。\\

$$\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}=\dfrac{n(n+1)/2}{n}=\dfrac{n+1}{2}$$
$${}^n\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \; \cdots \; \cdot n}={}^n\sqrt{n!}$$
相加平均$\geqq$相乗平均より
$$\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}\geqq {}^n\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \; \cdots \; \cdot n}$$
したがって\\
$$\dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n}=\dfrac{n(n+1)/2}{n}=\dfrac{n+1}{2}$$
よって
$$\dfrac{n+1}{2} \geqq {}^n\sqrt{n!}$$
両辺とも正で１より大きいので両辺を$n$乗しても不等号は成り立つ\\
したがって
$$\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n \geqq n!$$
相加平均$=$相乗平均は全ての項が等しい時のみ成立するが、この場合項は異なるので等号は成立しない
したがって
$$\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n > n!$$
\end{document}

