%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
空間に2直線 $l$，$g$ がある．\\
$l$，$g$ の上にそれぞれ3点 $\text{A}_1$，$\text{A}_2$，$\text{A}_3$；$\text{B}_1$，$\text{B}_2$，$\text{B}_3$ が\\
この順にあって，$\text{A}_1\text{A}_2=\text{B}_1\text{B}_2$，$\text{A}_2\text{A}_3=\text{B}_2\text{B}_3$ であるとする．\\
線分 $\text{A}_1\text{B}_1$，$\text{A}_2\text{B}_2$，$\text{A}_3\text{B}_3$ の中点を\\
それぞれ $\text{M}_1$，$\text{M}_2$，$\text{M}_3$ とするとき，
\\3点 $\text{M}_1$，$\text{M}_2$，$\text{M}_3$ は同一直線の上にあることを証明せよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
点$\text{A}_1$と点$\text{A}_2$が同一である場合\\
定義より$\overline{\text{B}_1\text{B}_2}=0$\\
よって、点$\text{B}_1$と点$\text{B}_2$が同一\\
したがって、$\text{M}_1$，$\text{M}_2$は同一の点となり、$\text{M}_3$がどこにあったとしても\\
$\text{M}_1$と$\text{M}_3$を結ぶ直線上に3点 $\text{M}_1$，$\text{M}_2$，$\text{M}_3$ はある。\\
\\
点$\text{A}_1$と点$\text{A}_2$が同一ではない場合\\
原点を適当な場所にとってそれを$\text{O}$とする\\
$k=(1,2,3)$において\\
$\vec{a_k}=\overrightarrow{\text{O}\text{A}_k}$\quad
$\vec{b_k}=\overrightarrow{\text{O}\text{B}_k}$\quad
$\vec{m_k}=\overrightarrow{\text{O}\text{M}_k}$\\
と定義する。\\
定義から\\
$\vec{m_k}=\dfrac{\vec{a_k}+\vec{b_k}}{2}$\\
また
$\text{A}_1,\text{A}_2,\text{A}_3$はこの順で直線上にあるので\\
$\vec{a_3}-\vec{a_1}=t(\vec{a_2}-\vec{a_1})$となる。\\
$t$は$\overline{\text{A}_1\text{A}_3}/\overline{\text{A}_1\text{A}_2}$\\
(点$\text{A}_1$と点$\text{A}_2$が同一ではないので分母は$0$ではない)\\
\\
同様に$\vec{b_3}-\vec{b_1}=s(\vec{b_2}-\vec{b_1})$となるが\\
$s=\overline{\text{B}_1\text{B}_3}/\overline{\text{B}_1\text{B}_2}$となり\\
$\text{B}_1\text{B}_3=\text{B}_1\text{B}_2+\text{B}_2\text{B}_3$\\
$\text{B}_1\text{B}_2=\text{A}_1\text{A}_2$\\
$\text{B}_2\text{B}_3=\text{A}_2\text{A}_3$\\
から$s=t$となり\\
$\vec{b_3}-\vec{b_1}=t(\vec{b_2}-\vec{b_1})$となる。\\
\\
\begin{eqnarray*}
\vec{m_2}-\vec{m_1}
&=&\dfrac{\vec{a_2}+\vec{b_2}}{2}-\dfrac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}{2}\\
&=&\dfrac{\vec{a_2}-\vec{a_1}+\vec{b_2}-\vec{b_1}}{2}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\vec{m_3}-\vec{m_1}
&=&\dfrac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}{2}-\dfrac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}{2}\\
&=&\dfrac{\vec{a_3}-\vec{a_1}+\vec{b_3}-\vec{b_1}}{2}\\
\end{eqnarray*}
したがって\\
\begin{eqnarray*}
\vec{m_3}-\vec{m_1}
&=&\dfrac{\vec{a_3}+\vec{b_3}}{2}-\dfrac{\vec{a_1}+\vec{b_1}}{2}\\
&=&\dfrac{t(\vec{a_2}-\vec{a_1})+t(\vec{b_2}-\vec{b_1})}{2}\\
&=&t\dfrac{\vec{a_2}-\vec{a_1}+\vec{b_2}-\vec{b_1}}{2}\\
&=&t(\vec{m_2}-\vec{m_1})\\
\end{eqnarray*}
よって
$$\vec{m_3}-\vec{m_1}=t(\vec{m_2}-\vec{m_1})$$
よって点$\text{M}_1,\text{M}_{2},\text{M}_3$の３点は同一直線上にある。\\
\end{document}
