%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
半径 $r$ の円Oの定弦をABとし，その長さを $2l$ とする．\\
円Oの周上の動点Pについて，積 $\text{AP}\cdot\text{BP}$ が \\
$2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$ となるのは，Pがどの位置にあるときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
以下のように直交座標系を設定する。\\
(1)円Oの中心を原点\\
(2)ABの中点を通る直線を$x$軸\\
(3)ABの中点は$x$軸の正の部分または原点にある\\
このように設定しても一般性は失わない\\
\\
点A,Bは$\text{A}=(\sqrt{r^2-l^2},l),\text{B}=(\sqrt{r^2-l^2},-l)$と表せる。\\
(ABは$x>0$の領域にあるので、$x$座標は正または０\\
また、A,Bは対等なので、Aの$y$座標を正と仮定しても一般性を失わない)\\
$s=\sqrt{r^2-l^2}$とおく\\
点$\text{P}$の座標を$(x,y)$とする。\\
定義より$(x,y)$は$x^2+y^2=r^2$の式を満たす。\\
\\
$p=\text{AP}\cdot\text{BP}$\ $q=2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$とする。\\
$p=\sqrt{(x-s)^2+(y-l)^2}\sqrt{(x-s)^2+(y+l)^2}$\\
$p^2=((x-s)^2+(y-l)^2)((x-s)^2+(y+l)^2)$\\
展開して
\begin{eqnarray*}
p^2&=&((x-s)^2+(y-l)^2)((x-s)^2+(y+l)^2)\\
&=&(x^2-2sx+s^2+y^2-2ly+l^2)(x^2-2sx+s^2+y^2+2ly+l^2)\\
&=&(x^2+y^2-2sx+s^2-2ly+l^2)(x^2+y^2-2sx+s^2+2ly+l^2)\\
&=&(r^2-2sx+s^2-2ly+l^2)(r^2-2sx+s^2+2ly+l^2)
\end{eqnarray*}
$s^2=r^2-l^2$なので
\begin{eqnarray*}
p^2&=&(r^2-2sx+r^2-l^2-2ly+l^2)(r^2-2sx+r^2-l^2+2ly+l^2)\\
&=&(2r^2-2sx-2ly)(2r^2-2sx+2ly)\\
&=&4(r^2-sx-ly)(r^2-sx+ly)\\
&=&4((r^2-sx)^2-l^2y^2)\\
&=&4((r^2-sx)^2-l^2(r^2-x^2))\\
&=&4((r^2-sx)^2-l^2r^2+l^2x^2))\\
&=&4r^4-8r^2sx+4s^2x^2-4l^2r^2+4l^2x^2
\end{eqnarray*}
また$q^2$を計算すると\\
\begin{eqnarray*}
q^2&=&(2r(r-s))^2\\
&=&4r^2(r^2-2rs+s^2)\\
&=&8r^4-8r^3s-4r^2l^2\\
\end{eqnarray*}
いま$p=q$となる場合を考えるが
定義より$p>0,q>0$は明らかなので$p^2=q^2$が成立すれば、$p=q$がいえる。\\
\begin{eqnarray*}
p^2-q^2&=&4r^4-8r^2sx+4s^2x^2-4l^2r^2+4l^2x^2-(8r^4-8r^3s-4r^2l^2)\\
&=&-4r^2(r^2)+4r^2(x^2)-4r^2(2xs)+4r^2(2rs)\\
&=&4r^2(x^2-2xs+2rs-r^2)\\
\end{eqnarray*}
$r>0$より\\
$x^2-2xs+2rs-r^2=0$の時のみ$p^2=q^2$となる。\\
これを$x$について解いて\\
\begin{eqnarray*}
x^2-2xs+2rs-r^2&=&0\\
x^2-2xs+r(2s-r)&=&0\\
(x-r)(x-2s+r)=0
\end{eqnarray*}
したがって
$$\left[ x=2s-r,x=r \right]$$
ここで$x=r$のときは$y=0$となり、点P$=(r,0)$は任意の$l$について条件を満たす。\\
\\
$x=2s-r$のとき
\begin{eqnarray*}
y&=&\pm \sqrt{r^2-x^2}\\
&=&\pm \sqrt{r^2-4s^2+4sr-r^2}\\
&=&\pm 2\sqrt{s^2+sr}\\
&=&\pm 2\sqrt{r^2-l^2+r\sqrt{r^2-l^2}}\\
\end{eqnarray*}
$|2\sqrt{r^2-l^2}-r|<r$\\
$-r<2\sqrt{r^2-l^2}-r<r$\\
$-r<2\sqrt{r^2-l^2}-r$かつ$2\sqrt{r^2-l^2}-r<r$\\
$-r<2\sqrt{r^2-l^2}-r$より\\
$0<r^2-l^2$これは条件より成立する。\\
$2\sqrt{r^2-l^2}-r<r$より$-l^2<0$となりこれも条件より成立する。\\
したがって、任意の$0<l<r$において$x$は存在し、同時に$y$も存在する。\\
\\
以上より
$r=l$のとき\\
$s=0$となり\\
$x$の解は$\left[r,-r\right]$の二つとなり\\
点Pは(r,0),(-r,0)の２点\\
\\
$l=0$のとき\\
$s=r$となり$x$は$x=r$の重解を持つ\\
点Pは(r,0)の１点\\
\\
$0<l<r$のとき\\
$(r,0)$,\\
$(2\sqrt{r^2-l^2}-r,2\sqrt{r^2-l^2+r\sqrt{r^2-l^2}})$,\\
$(2\sqrt{r^2-l^2}-r,-2\sqrt{r^2-l^2+r\sqrt{r^2-l^2}})$\\
の３点

\end{document}

