%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
関数 $F(x)=\dint_0^x t\sin^3 t\,dt$ の極大値を求めよ．ただし，$x>0$ とする．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
不定積分は
$$\dint t\sin^3 t\,dt=-\frac{\sin (3t)}{36}+\frac{t\cos (3t)}{12}+\frac{3\sin t}{4}-\frac{3t\cos t}{4}$$
となるので
\begin{eqnarray*}
F(x)&=&-\frac{\sin (3x)}{36}+\frac{x\cos (3x)}{12}+\frac{3\sin x}{4}-\frac{3x\cos x}{4}\\
& &-(-\frac{\sin (0)}{36}+\frac{0\cos (3\cdot0)}{12}+\frac{3\sin 0}{4}-\frac{3\cdot0\cos 0}{4})\\
&=&-\frac{\sin (3x)}{36}+\frac{x\cos (3x)}{12}+\frac{3\sin x}{4}-\frac{3x\cos x}{4}\\
& &-(-\frac{0}{36}+\frac{0}{12}+\frac{0}{4}-\frac{0}{4})\\
&=&-\frac{\sin (3x)}{36}+\frac{x\cos (3x)}{12}+\frac{3\sin x}{4}-\frac{3x\cos x}{4}\\
\end{eqnarray*}
となり、$F(x)=\dint x\sin^3 x\,dx$
よって
$F'(x)=x\sin^3 x$\\
$F(x)$は連続ですべての点で微分可能なので$F'(x)=0$の点で極大または極小となる\\
\\
$x\sin^3 x=0$をみると、$x>0$より\\
$F'(x)=0$となるのは$\sin^3x=0$のとき\\
これは、$\sin x=0$のときなので$x=n\pi\ (n=1,2,3,\cdots)$のときに限る。\\
\begin{eqnarray*}
\dint n\pi\sin^3 n\pi \,dt
&=&-\frac{\sin (3n\pi)}{36}+\frac{n\pi\cos (3n\pi)}{12}+\frac{3\sin n\pi}{4}-\frac{3n\pi\cos n\pi}{4}\\
&=&\frac{n\pi\cos (3n\pi)}{12}-\frac{3n\pi\cos n\pi}{4}\\
&=&\frac{n\pi\cos (3n\pi)-9n\pi\cos n\pi}{12}\\
\end{eqnarray*}
$$M_n=\frac{n\pi\cos (3n\pi)-9n\pi\cos n\pi}{12}$$
とおくと\\
$n=2k$($n$は偶数)のとき$\cos (3n\pi)=\cos n\pi=1$なので\\
$M_n=\frac{-2n\pi}{3}<0$\\
$n=2k-1$($n$は奇数)のとき$\cos (3n\pi)=\cos n\pi=-1$\\
$M_n=\frac{2n\pi}{3}>0$\\
以上より$n$が偶数のときは常に負で、奇数のときは常に正なので\\
$2k-2<x<2k$の範囲では$F(x)$は$n=2k-1$のとき極大となり極大値$\frac{2(2k-1)\pi}{3}$をとる。\\
これは任意の$k>0$について成立するので\\
$F(x)$は$k$を正の整数としたとき、$x=2k-1$の点において極大値$\frac{2(2k-1)\pi}{3}$をとる。
\end{document}

