%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1970年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$ は $1<a<2$ をみたす定数とする．\\
$x_1=a$，　$x_{n+1}=\dfrac{{x_n}^2+2}{3}$\\
によって定められた数列 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，$\cdots$ について，次の問いに答えよ．\\
(1)　$1<x_n<a$（$n=2$，3，$\cdots$）\\
(2)　$x_n-1\leqq\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{n-1}-1)$（$n=2$，3，$\cdots$）\\
(3)　この数列の極限値を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
(1)\\
$x_2$について確認する。\\
$1<a<2$なので\\
$\dfrac{1+2}{3}=1<x_2=\dfrac{a^2+2}{3}$
$x_2-x_1=\dfrac{a^2+2}{3}-a=\dfrac{a^2-3a+2}{3}=\dfrac{(a-2)(a-1)}{3}$\\
$1<a<2$より$(a-2)<0,(a-1)>0$\\
よって$x_2-x_1<0$
以上より$1<x_2<a$\\

$1<x_n<a$が成立していると仮定する\\
$x_n>1$ならば\\
$x_{n+1}=\dfrac{{x_n}^2+2}{3}>\dfrac{1^2+2}{3}=1$\\
よって$x_{n+1}>1$\\
帰納法より$x_n>1$\\
\\
次に$x_{n+1}-x_n$を考えると
\begin{eqnarray*}
x_{n+1}-x_n
&=&\dfrac{{x_n}^2+2}{3}-\dfrac{{x_{n-1}}^2+2}{3}\\
&=&\dfrac{{x_n}^2-{x_{n-1}}^2}{3}\\
&=&\dfrac{(x_n+x_{n-1})(x_n-x_{n-1})}{3}\\
\end{eqnarray*}
$x_n>1$なので$x_n+x_{n-1}>1$\\
したがって\\
$x_n<x_{n-1}$ならば$x_{n+1}<x_n$\\
$x_2<x_1$は成立しているので
帰納法より$x_n<x_{n-1}$\\
よって
$x_n<x_{n-1}<x_{n-2}<\cdots<x_1=a$\\
以上より
$$1<x_n<a$$
\\
(2)\\
$f(n)=\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{n-1}-1)-(x_{n}-1)$とおく\\
$k=2$のとき\\
\begin{eqnarray*}
f(2)
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{1}-1)-(x_{2}-1)\\
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(a-1)-(\dfrac{a^2+2}{3}-1)\\
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(a-1)-(\dfrac{a^2-1}{3})\\
&=&(a-1)\Bigl(\dfrac{a+1-(a+1)}{3}\Bigr)=0\\
\end{eqnarray*}

$k>2$において\\
\begin{eqnarray*}
f(k)
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{k-1}-1)-(x_{k}-1)\\
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{k-1}-1)-(\dfrac{{x_{k-1}}^2+2}{3}-1)\\
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{k-1}-1)-(\dfrac{{x_{k-1}}^2-1}{3})\\
&=&\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{k-1}-1)-(\dfrac{(x_{k-1}-1)(x_{k-1}+1)}{3})\\
&=&(x_{k-1}-1)\Bigl(\dfrac{a+1-(x_{k-1}+1)}{3}\Bigr)\\
&=&(x_{k-1}-1)\Bigl(\dfrac{a-x_{k-1})}{3}\Bigr)\\
\end{eqnarray*}
(1)により$1<x_n<a$なので\\
$a-x_{k-1}>0$かつ$x_{k-1}-1>0$\\
以上より\\
$k=2$において
$$f(2) = 0$$
$k>2$において
$$f(k) > 0$$
つまり$n \geqq 2$において
$$(x_{n}-1) \leqq \Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{n-1}-1)$$
(3)\\
以下のような数列$y_n$を考える。\\
$y_1=x_1-1$\\
$y_n = \Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)y_{n-1}\ (n>1)$\\
$n=2$のとき\\
$y_2=\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)y_1=\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_1-1) \geqq x_2-1$\ \ (2)より\\
$x_2-1 \leqq y_2$\\
$n=k-1$のとき成り立つと仮定すると\\
$y_k=\Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)y_{k-1} \geqq \Bigl(\dfrac{a+1}{3}\Bigr)(x_{k-1}-1) \geqq x_k-1$\\
よって$n \geqq 2$において$x_n-1 \leqq y_n$\\
$1<a<2$より\\
$\dfrac{2}{3}<\dfrac{a+1}{3}<1$\\
$y_n$は等比数列で比は$\dfrac{a+1}{3}$\\
したがって初項$y_1=a-1$より\\
$y_n=\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^{n-1}(a-1)$\\
したがって、$y_n$は収束して\\
$$\dlim_{n\to\infty} y_n=\dlim_{n\to\infty}\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^{n-1}(a-1)$$
$\dfrac{a+1}{3}<1$より\\
$\dlim_{n\to\infty}\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^{n-1}=0$\\
$a-1$は定数なので\\
$$\dlim_{n\to\infty} y_n=0$$
$1<x_n<y_n+1$より\\
$$1 \leqq \dlim_{n\to\infty} x_n \leqq \dlim_{n\to\infty} y_n+1$$
前述の通り$y_n$は収束して$\dlim_{n\to\infty} y_n=0$なので\\
$$1 \leqq \dlim_{n\to\infty} x_n \leqq 1$$
したがって
$$\dlim_{n\to\infty} x_n =1$$

\end{document}

