%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\ \\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　次の {\fboxsep=1pt \fbox{　　}} の中に適当な数あるいは語句をいれ，その理由をしる
	  せ．\\
　$x>0$ において，直線 $y=ax$ ($a$ は正数)と曲線 $xy=1$ との交点をPとす
	  る．原点をOとするとき，線分OPの長さ $\overline{\text{OP}}$ が最小
	  となるのは $a=\text{{\fboxsep=1pt \fbox{　　}}}$ のときで，そのとき 
	  $\overline{\text{OP}}=\text{{\fboxsep=1pt \fbox{　　}}}$ である．$a\geqq 1$ では，
	  $a$ が増加するとともに $\overline{\text{OP}}$ は {\fboxsep=1pt
	  \fbox{　　}} し，
	  $a<1$ では，$a$ が増加するとともに $\overline{\text{OP}}$ は\ 
	  {\fboxsep=1pt \fbox{　　}} する．
 \item　$0<xy\leqq 1$，$1\leqq\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3}$，$x>0$ をみたす
	  点 $(x,y)$ の範囲を考える．点Qはこの範囲にあるものとして，
	  $\overline{\text{OQ}}$ の最大値，およびそのとき線分OQが $x$ 軸となす
	  角を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
　$x>0$ において，直線 $y=ax$ ($a$ は正数)と曲線 $xy=1$ との交点をPとす
	  る．原点をOとするとき，線分OPの長さ $\overline{\text{OP}}$ が最小
	  となるのは $a=[1]$ のときで，そのとき 
	  $\overline{\text{OP}}=\sqrt{2}$ である．$a\geqq 1$ では，
	  $a$ が増加するとともに $\overline{\text{OP}}$ は [増加] し，
	  $a<1$ では，$a$ が増加するとともに $\overline{\text{OP}}$ は[減少]する．\\
\\
$x>0$における、$y=ax$と$xy=1$の交点の$x$座標は、方程式$x(ax)-1=0$の解となる\\
解は$x=\pm \sqrt{1/a}$であるが、$x>0$の条件から$x=\sqrt{1/a}$\\
このときの$y$の値は$\sqrt{a}$\\
このとき、$\overline{\text{OP}}$の長さを$l$とすると、\\
$l^2=x^2+y^2=1/a+a$\\
$l$は長さなので、正なので\\
$l=\sqrt{1/a+a}$\\
また、$l^2$は常に正なので、$l$の増減と$l^2$の増減は一致する。\\
従って、$l^2$を$a$の関数と見たとき、$l^2=f(a)$とおくと\\
$f(a)=1/a+a$\\
このとき、$f(a)$を微分すると$f'(a)=1-1/a^2$\\
$f'(a) $は単調増加で$a=1$において$0$となるので$0<a<1$の範囲で負、$a>1$で正\\
従って、$f(a)$は、$0<a<1$の範囲で減少し、$a>1$で増加する。\\
よって、$a=1$で最小値となり,そのときの最小値は$2$よって、$l=\sqrt{2}$\\
\\
2.\\
$0<xy\leqq 1$，$1\leqq\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3}$，$x>0$ をみたす
	  点 $(x,y)$ の範囲を考える．点Qはこの範囲にあるものとして，
	  $\overline{\text{OQ}}$ の最大値，およびそのとき線分OQが $x$ 軸となす
	  角を求めよ．
\\
$1\leqq\dfrac{y}{x}\leqq\sqrt{3}$，$x>0$より、\\
$x \leqq y \leqq x\sqrt{3}$\\
点Qの座標を$(a,b)$とすると、各$a$について、$b$の範囲は\\
$a \leqq b \leqq a\sqrt{3}$かつ$b \leqq 1/a$の範囲\\
また、$a > 1/a$となると、共通する範囲が無くなるので、$a \leqq 1/a$の範囲にかぎる。\\
つまり、$a^2 \leqq 1$$a>0$なので$a \leqq 1$\\
したがって、$a$の範囲を以下の二つに分けて考える。\\
$1/a \leqq a\sqrt{3}$つまり、$a^2 \geqq 1/\sqrt3$かつ$a \leqq 1$\\
1.$1/\;{}^4\!\!\!\sqrt{3} \leqq a \leqq 1$\\
2.$0 < a \leqq 1/\;{}^4\!\!\!\sqrt{3}$\\

1.$1/\;{}^4\!\!\!\sqrt{3} \leqq a \leqq 1$の範囲を考える。\\
この範囲では$\overline{\text{OQ}}=m$とすると\\
$m^2=a^2+b^2 \leqq a^2+(1/a^2)$\\
$g(a)=a^2+(1/a^2)$とすると、$g'(a)=2a-2/a^3=2(a^4-1)/a^3$\\
$1/\;{}^4\!\!\!\sqrt{3} \leqq a \leqq 1$の範囲では、$a^4<1$なので$g'(a)<0$よって、\\
$g(a)$は単調減少。\\
したがって、aがの最小時に最大値を取る。\\
よって、のそのときのは値は$m^2=(1/\sqrt{3})+(\sqrt{3})=4/\sqrt{3}$\\
したがって、$m=\dfrac{2}{{}^4\!\!\!\sqrt{3}}$\\

2.の範囲を考えると\\
同様に$m^2=a^2+b^2 \leqq a^2+3a^2=4a^2$\\
したがって、$m \leqq 2a$\\
よって$m$の最大値は、$2a$となり、$a$の最大値で最大となるので、$a=1/\;{}^4\!\!\!\sqrt{3}$のとき\\
$m=\dfrac{2}{{}^4\!\!\!\sqrt{3}}$となる。
1,2の両方の範囲で、$m$の最大値は$\dfrac{2}{{}^4\!\!\!\sqrt{3}}$となるので、\\
$\overline{\text{OQ}}$の最大値は$\dfrac{2}{{}^4\!\!\!\sqrt{3}}$\\
\\
そのときの$a/m=1/2$\\
つまり、$\overline{\text{OQ}}$と$x$軸のなす角を$\theta$とすると、$\cos \theta=1/2$\\
$0< \theta< \pi/2$の範囲で、$\cos \theta=1/2$となるのは$\theta=\pi/3$\\
よって、$\overline{\text{OQ}}$と$x$軸のなす角は$\dfrac{\pi}{3}$\\
\end{document}
