%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$\alpha$，$\beta$ は複素数で，$\alpha$ の絶対値は1とする．このとき\\
　　　　$z+\alpha \overline{z}+\beta=0$\\
を満足する複素数 $z$ があるための必要十分
条件は $\alpha \overline{\beta}=\beta$ であることを示せ．ここに 
$\overline{z}$，$\overline{\beta}$ はそれぞれ $z$，$\beta$ の共役複素数
を表わす．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$\alpha=a+bi$\quad$\beta=c+di$\quad$z=x+yi$\\
$\overline{\alpha}=a-bi$\quad$\overline{\beta}=c-di$\quad$\overline{z}=x-yi$とおく\\
$|\alpha|=1$より$a^2+b^2=1$\\
\\
$z$が存在すると仮定すると\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{x+yi+(a+bi)(x-yi)+(c+di)}\\
&=&x+yi+ax+bxi-ayi+by+(c+di)\\
&=&(a+1)x+by+c+(bx+(1-a)y+d)i\\
\end{eqnarray*}
より\\
$(a+1)x+by+c=0$\\
$bx+(1-a)y+d=0$\\
となる必要がある。\\
$(a+1)x+by+c=0$に$(a-1)$をかけて変形すると\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(a-1)((a+1)x+by+c)}\\
&=&(a-1)(a+1)x+(a-1)by+(a-1)c\\
&=&(a^2-1)x+(a-1)by+(a-1)c\\
&=&-b^2x+(a-1)by+(a-1)c\\
&=&b(-bx+(a-1)y)+(a-1)c=0
\end{eqnarray*}
$bx+(1-a)y+d=0$より$d=-bx+(a-1)y)$なので\\
$b(-bx+(a-1)y)+(a-1)c=bd+ac-c=0$より\\
\begin{equation}
bd+ac=c \label{e.1}
\end{equation}
同様に\\
$bx+(1-a)y+d=0$に$(a+1)$をかけて変形すると\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(1+a)(bx+(1-a)y+d)}\\
&=&(1+a)bx+(1-a^2)y+(1+a)d\\
&=&(1+a)bx+b^2y+(1+a)d\\
&=&b(by+(a+1)x)+(1+a)d=0\\
\end{eqnarray*}
$by+(a+1)x=-c$より\\
$-bc+d+ad=0$となり\\
\begin{equation}
bc-ad=d \label{e.2}
\end{equation}
\ \\
\begin{eqnarray*}
\alpha \overline{\beta}
&=&(a+bi)(c-di)\\
&=&ac+bci-adi+bd\\
&=&ac+bd+bci-adi\\
&=&ac+bd+(bc-ad)i\\
\end{eqnarray*}
なので\\
(\ref{e.1}),(\ref{e.2})より\\
$ac+bd+(bc-ad)i=c+di=\beta$\\
よって$z$が存在すれば、$\alpha \overline{\beta}=\beta$\\
逆に\\
$\alpha \overline{\beta}=\beta$\\
ならば\\
$ac+bd=c,bc-ad=d$より\\
$ac-c=-bd$\\
$bc=d+ad$\\
\begin{eqnarray*}
(a-1)((a+1)x+by+c)
&=&(a^2-1)x+(a-1)by+(a-1)c)\\
&=&(a^2-1)x+(a-1)by+ac-c\\
&=&-b^2x+(a-1)by-bd\\
&=&-b(bx+(a-1)y-d)\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(1+a)(bx+(1-a)y+d)
&=&(1+a)bx+(1-a^2)y+(1+a)d\\
&=&(1+a)bx+b^2y+d+ad\\
&=&(1+a)bx+b^2y+bc\\
&=&b((1+a)x+by+c)\\
\end{eqnarray*}
なので\\
$(1+a)x+by+c=t$,$bx+(a-1)y-d=s$とおくと
$(a-1)t=-bs$かつ$(a+1)s=-bt$\\
$b \neq 0$としたとき
$(a-1)t/b=-s$\\
これを代入すると\\
\begin{eqnarray*}
(a+1)(a-1)t/b&=&bt\\
(a^2-1)t&=&b^2t\\
-b^2t&=&b^2t\\
-t&=&t\\
2t&=&0
\end{eqnarray*}
よって$t=0$\\
同様に$s=0$\\
よって\\
$$z+\alpha \overline{z}+\beta=0$$
以上より\\
$z+\alpha \overline{z}+\beta=0$\\
を満足する複素数 $z$ があるための必要十分条件は $\alpha \overline{\beta}=\beta$ である\\
\end{document}

