%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　台形ABCDの平行な2辺AB，DC上にそれぞれ点P，Qをとる．次にABに平行な直線が辺AD，BCおよび線分PQと交わる点をそれぞれL，M，Nとし，$\text{AP}=a$，$\text{PB}=b$，$\text{DQ}=c$，$\text{QC}=d$，$\text{LN}=x$，$\text{NM}=y$ とする．$ad-bc>0$，$c\neq 0$ のとき，$\dfrac{y}{x}$，$\dfrac{b}{a}$，$\dfrac{d}{c}$ の大小をしらべよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
\includegraphics[width=5cm,clip]{1971l_3.eps}
$ad>bc$\\
$a,b,c,d,x,y$は正、$c \neq 0$なので、$ad>0,bc>0$より、
$b=0$であったとしても、$ad\neq 0$より、$a\neq 0$かつ $d \neq 0$\\
以上より、\\
両辺を、$ac$で割ることができ、不等号は成立する。\\
したがって、$\dfrac{d}{c} > \dfrac{b}{a}$\\
\\
１．ADとPQが平行だった場合\\
\\
$a=x=c$\\
PQとBCが平行だった場合、$b=y=d$となるが、の前述通り、$\dfrac{d}{c} > \dfrac{b}{a}$なので\\
これはあり得ない。\\
また、$c \neq 0$より、ADPQとは一致しない。\\
従ってPQとBCがは平行ではない。\\
そのときPQとBCの延長線は１点で交わる。\\
その交点をFとすると、$\triangle$FBP,$\triangle$FMN,$\triangle$FCQ,はが底辺が平行なので、相似形\\
$a=x=c$だから、$d>b$\\
LMは線分AD,BCと交わるので、線分、AB,CDの間に有ることから、\\
FB$\leqq$FM$\leqq$FCとなる。\\
したがって、対応するの辺の比は同じなので、$b\leqq y \leqq d$\\
よって$\dfrac{b}{a} \leqq \dfrac{y}{x} \leqq \dfrac{d}{c}$\\
\\
２．PQとBCが平行だった場合\\
PQとBCが一致しない場合\\
１と同様にして$b=y=d$で、PQとQCが平行ではないので\\
その延長線の交点をEとすると、$\triangle$EAP,$\triangle$ELN,$\triangle$EDQは相似\\
$b=y=d$だから、$c<a$\\
ED$ \leqq$ EL $\leqq$ EAとなる。\\
よって、$d \leqq x \leqq b$\\
したがって、$\dfrac{b}{a} \leqq \dfrac{y}{x} \leqq \dfrac{d}{c}$\\
PQとBCが一致すとすると\\
$b=y=d=0$なので\\
$d\neq 0$に反するので一致しない\\
\\
３．PQとBCが平行ではなく、PQとADが平行ではない場合\\
BCとADは平行であっても、平行でなくてもかまわない。\\
PQとBCの交点をE,PQとADの交点をFとすると、\\
１，２と同様に\\
$\triangle$EAP,$\triangle$ELN,$\triangle$EDQは相似\\
$\triangle$FBP,$\triangle$FMN,$\triangle$FCQは相似\\
従って、\\
EP$:$EN$:$EQ$=a:x:c$\\
FP$:$FN$:$FQ$=b:y:d$\\
EP$=l$,PN$=m$,NQ$=n$,QF$=p$\\
とすると\\、
E,FがP側にあるとすると、\\
$l:l+m:l+m+n=a:x:c$\\
$p:p+m:p+m+n=b:y:d$\\
従って、\\
$b/a=p/l$\\
$y/x=(p+m)/(l+m)$\\
$d/c=(p+m+n)/(l+m+n)$\\
$b/a<d/c$より\\
$p/l < (p+m+n)/(l+m+n)$\\
$pl+pm+pn < pl+lm+ln$\\
$p(m+n) < l(m+n)$\\
$p<l$\\
よって、\\
$pl+pm < pl+lm$\\
$p/l<(p+m)/(l+m)$\\
同様に\\
$(p+m)/(l+m) < (p+m+n)/(l+m+n)$\\
となり、\\
$$\dfrac{b}{a} \leqq \dfrac{y}{x} \leqq \dfrac{d}{c}$$
E,FがQ側に有る場合も、EがP側、FがQ側、またその逆も同様にして、\\
$$\dfrac{b}{a} < \dfrac{y}{x} < \dfrac{d}{c}$$
以上より、すべての場合について\\
\\
以下のような大小関係となる。
$$\dfrac{b}{a} \leqq \dfrac{y}{x}$$
$$\dfrac{y}{x} \leqq \dfrac{d}{c}$$
$$\dfrac{b}{a} < \dfrac{d}{c}$$
\end{document}

