%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　空間に正方形がある．これを一つの平面に正射影したとき，2辺の長さおよび一つの頂角がそれぞれ $2\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$ および $30^\circ$ であるような平行四辺形がえられた．\\
\begin{enumerate}
 \item　平行四辺形の二つの対角線の長さを求めよ．
 \item　もとの正方形の面積を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\ \\
空間の正方形を基準とした座標系を考える。\\
正方形の頂点の一つを原点とし、原点を含む１辺を$x$軸、もう１辺を$y$軸とする。\\
また、正方形の１辺の長さを$l$とおく。\\
つまり正方形の各点をOABCとしたとき、各頂点の座標は\\
O$=(0,0,0)$\\
A$=(l,0,0)$\\
B$=(l,l,0)$\\
C$=(0,l,0)$\\
となる。\\
\\
平面Pの式は、$z=ax+by+c$と表せるが、この際、$c$の値が変わっても、$x,y$平面に対して垂直方向への移動だけなので、射影される図形は変わらない。\\
そこで$c=0$としても問題はない。\\
平面の式を$z=ax+by$とする。\\
平面Pへの射影によって頂点O,A,B,Cのうつる頂点を順に$\text{O}',\text{A}',\text{B}',\text{C}'$とすると\\
$\text{O}'=(0,0,0)$\\
$\text{A}'=(l,0,al)$\\
$\text{B}'=(l,l,(a+b)l)$\\
$\text{C}'=(0,l,bl$\\
このとき、平面Pに射影した、２辺の長さが$2\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$\\
１つの角が$30^\circ$の平行四辺形だから、\\
向かい合う辺の長さは等しいので、２辺の長さはそれぞれとなりあう辺の長さとなる。\\
したがって、\\
$\text{O}'\text{A}'=2\sqrt{2}$\\
$\text{O}'\text{C}'=\sqrt{6}$\\
$\angle\text{A}'\text{O}'\text{C}'=30^\circ$\\
としても、問題は無い。\\
\\
平行四辺形の対角線の長さを以下の様におくと\\
$m=\text{A}'\text{C}'$,$n=\text{A}'\text{C}'$
\begin{eqnarray*}
m^2&=&(\text{O}'\text{A}')^2+(\text{O}'\text{C}')^2-2(\text{O}'\text{A}')(\text{O}'\text{C}')\cos 30^\circ\\
&=&(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2-2(2\sqrt{2})(\sqrt{6})\sqrt{3}/2\\
&=&8+6-12=2
\end{eqnarray*}
\ \\
\begin{eqnarray*}
n^2&=&(\text{A}'\text{O}')^2+(\text{A}'\text{B}')^2-2(\text{A}'\text{O}')(\text{A}'\text{B}')\cos 150^\circ\\
&=&(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{6})^2-2(2\sqrt{2})(\sqrt{6})(-\sqrt{3}/2)\\
&=&8+6+12=26
\end{eqnarray*}
以上より、
$$m=\sqrt{2},n=\sqrt{26}$$
\ \\
また、上記の座標値より、
$\text{O}'\text{A}'^2=l^2+a^2l^2=(1+a^2)l^2=8$\\
$\text{O}'\text{C}'^2=l^2+b^2l^2=(1+b^2)l^2=6$\\
$\text{A}'\text{C}'^2=l^2+l^2+(a-b)^2l^2=(2+(a-b)^2)l^2=2$\\
a,b,lについての連立方程式\\
\begin{eqnarray}
(1+a^2)l^2&=&8 \label{e.1}\\
(1+b^2)l^2&=&6 \label{e.2}\\
(2+(a-b)^2)l^2&=&2 \label{e.3}
\end{eqnarray}
を$l^2$について解くと\\
(\ref{e.3})-((\ref{e.1})+(\ref{e.2}))より\\
\begin{eqnarray*}
(2+(a-b)^2)l^2-((1+a^2)l^2+(1+b^2)l^2)&=&2-(8+6)\\
(2+(a-b)^2-(1+a^2)-(1+b^2))l^2&=&-12\\
(2+a^2-2ab+b^2-1-a^2-1-b^2)l^2&=&-12\\
(-2ab)l^2&=&-12\\
abl^2&=&6
\end{eqnarray*}
$a^2b^2l^4=36$\\
$a^2=8/l^2-1$,$b^2=6/l^2-1$より\\
\begin{eqnarray*}
(8/l^2-1)(6/l^2-1)l^4&=&36\\
(8-l^2)(6-l^2)&=&36\\
48-14l^2+l^4&=&36\\
l^4-14l^2+12&=&0
\end{eqnarray*}
$$l^2=7\pm\sqrt{37}$$
しかし、$a^2=8/l^2-1$より$8/l^2-1>0$でなければならないので、$8/l^2>1$つまり、$l^2<8$\\
$7+\sqrt{37}>7+6=13$より、$l^2=7-\sqrt{37}$\\
もとの正方形の面積は、$l^2$なので\\
正方形の面積は
$$7-\sqrt{37}$$
\end{document}

