%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
3次関数 $f(x)=x^3-ax$（$a$ は実数）の絶対値 $|f(x)|$ の $0\leqq x\leqq 1$ における最大値は，$a$ の値が何であっても，つねに $\dfrac{1}{4}$ より小さくないことを証明せよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f'(x)=3x^2-a$\\
よって、$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考えると\\
この区間では$f'(x)$は単調増加なので$x=0$の点で最小となり、$x=1$の点で最大となる\\
したがって、$-a \leqq f'(x)\leqq 3-a$の範囲で変化する。\\
$f'(x)=0$がどこに存在するかによって分類すると\\
\begin{enumerate}
\item $a \leqq 0$のとき、$f'(x)$は常に正 \label{c1}\\
\item $0 < a < 3$のとき$f'(0)<0$かつ$f'(1) >0$なので$f'(x)=0$となる$x$が$0 < x < 1$の範囲に存在する。 \label{c2}\\
\item $a \geqq 3$のとき、$f'(x)$は常に負  \label{c3}\\
\end{enumerate}
\ref{c1}.のとき\\
$f(x)$は単調増加なので、$f(0)$で最小値をとり、$f(1)$で最大値をとる。\\
その値は$f(0)=0$,$f(1)=1-a$\\
$a \leqq 0$なので、$1-a>1$\\
よって、$|f(x)|$の最大値は$1-a>1$\\
\ \\
\ref{c2}.のとき\\
$f'(x)=0$の点$x=\sqrt{a/3}$において、\\
最小値$f(\sqrt{a/3})=(\sqrt{a/3})^3-a(\sqrt{a/3})=(a/3)\sqrt{a/3}-a(\sqrt{a/3})=-2a\sqrt{a}/3\sqrt{3}$をとる。\\
また、このとき、$f(0)=0$,$f(1)=1-a$なので、\\
最大値は、$a<1$のとき$1-a>0$,$1 \leqq a < 3$のとき$0$となる。\\
$0<a<1$の範囲を考える。\\
この区間で、絶対値の最大値をかんがえるばあい、最小値は上の通り負で、最大値は正なので\\
最小値の絶対値と最大値の大きい方が絶対値の最大値となる。\\
そこで、最小値の絶対値と最大値が等しい場合を考えると、次の式となる。\\
$1-a=2a\sqrt{a}/3\sqrt{3}$\\
両辺を２乗し、変形すると
$4a^3-27a^2+54a-27=0$
これを$a$について解くと\\
$a=3/4,3$\\
今$0<a<1$なので、$a=3/4$のとき、最小値の絶対値とと最大値は一致する。\\
この前後で場合を分けて考えると
$0 \leqq a<3/4$の範囲では、\\
最大値は$1-a>1/3>1/4$よって、$1/4$より小さくない\\
最小値の値にかかわり無くこの範囲では、絶対値の最大値は$1/4$より小さくない。\\
\\
$3/4 \leqq a \leqq 1$の範囲では
最小値$=-2a\sqrt{a}/3\sqrt{3}$\\
最小値を$a$の関数とみたとき、この値は単調減少\\
よって、$a=3/4$の点で最大、であるが、負なので、絶対値は最小となる。\\
そのときの値は$-3/4$したがって、絶対値は$3/4$\\
最大値の値にかかわり無くこの範囲では、絶対値の最大値は$1/4$より小さくない。\\
\\
$1 \leqq a < 3$の範囲を考える。\\
このとき、この区間の最大値は$0$\\
よって、絶対値が最大となるのは、値が最小となったとき\\
前述のとおりこの区間では$x=a/3$の点で最小値$-2a\sqrt{a}/3\sqrt{3}$をとる。\\
したがって、絶対値の最大値は$2a\sqrt{a}/3\sqrt{3}$\\
この値を$a$の関数と考えると、これは、増加なので\\
$a=1$の点で最小値をとる。\\
このときの値は$2/3\sqrt{3}=\sqrt{4/27}>\sqrt{4/64}=1/4$\\
よって絶対値の最大値は$1/4$より小さくない。\\
\\
\ref{c3}.のとき\\
$f'(x)$は常に負なので、$f(x)$はこの範囲で単調減少。\\
したgって、$x=0$の点で最大値をとり、$x=1$の点で最小値をとる。\\
それぞれの値は、$f(0)=0$,$f(1)=1-a<-2$\\
したがって、絶対値の最大値は、$x=1$のときでその値は$2$\\
\\
以上より、\\
任意の$a$において、$0\leqq x \leqq 1$の範囲での$f(x)$の絶対値の最大値は$1/4$より小さくない。\\


\end{document}


