%2008/01/01 20:10
%Copyright 2008 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
 \\
　座標平面において，$x$，$y$ がともに整数であるような点 $(x,y)$ を格子点
とよぶことにする．この平面上で
\begin{enumerate}
 \item　辺の長さが1で，辺が座標軸に平行な正方形（周をこめる）は少なくと
      も1つの格子点を含むことを証明せよ．
 \item　辺の長さが $\sqrt{2}$ の正方形（周をこめる）は，どんな位置にあっ
      ても，少なくとも1つの格子点を含むことを証明せよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
辺の長さが１で座標軸に平行な正方形Aは４つの頂点の内最も$(x,y)$の小さい頂点の座標を$(a,b)$とすると、
辺を含む正方形の範囲は
\begin{eqnarray*}
A:
\begin{cases}
a \leqq x \leqq a+1\\
b \leqq y \leqq b+1\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}
$a$が整数のとき\\
$b$が整数ならば、点(a,b)が格子点となるため、辺上に格子点が存在する\\
$b$が整数でないと仮定すると
$b+1$を越えない最大の整数を$[b+1]$とすると\\
$[b+1]<b+1$\\
このとき、$b \leqq [b+1]$となると、点(a,[b+1])がこの範囲に含まれるので\\
格子点が辺上に存在する。\\
$[b+1] < b$と仮定すると\\
両辺に$1$をたすと
$[b+1]+1 < b+1$\\
$[b+1]+1$は整数の加算なので、整数。\\
また、$[b+1]+1 \neq [b+1]$より\\
$[b+1]$が$b+1$を越えない最大の整数であることに反する。\\
したがって、$[b+1] < b$は成立しない。\\
よって格子点が辺上に存在する。\\
次に$a$が整数でないとき\\
$b$が整数のときは上記の$a,b$を入れ換えた議論と同じなので
格子点は辺上に存在する。\\
$b$が整数でないとき\\
上記の後半と同様に$[a+1]$を$a+1$を越えない最大の整数とすると\\
$a<[a+1]<a+1$となる。\\
また同様に$[b+1]$を$b+1$を越えない最大の整数とすると\\
$b<[b+1]<b+1$となる。\\
このとき点$([a+1],[b+1])$は$x,y$共に整数でかつAの範囲に含まれるので
格子点が内部に存在する。\\
以上より、少なくとも一つの格子点が、内部または辺上に存在する。\\
\\
2.\\
辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形には半径$\frac{\sqrt{2}}{2}$の円が内接する。\\
半径$\frac{\sqrt{2}}{2}$の円には辺の長さ1の正方形が内接し自由に回転することができる。\\
したがって、この正方形は辺が座標軸に平行なものが含まれ、(1)よりその内部には格子点が含まれる。\\
よって、辺の長さが$\sqrt{2}$の任意の正方形には格子点が少なくとも一つ含まれる。\\
(Suggested by amase)\\
\\
証明終了\\
\end{document}

