%2008/01/01 19:52
%Copyright 2008 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
関数 $f(x)=x^2+ax+b$（$a$，$b$ は実数）の $0\leqq x\leqq 1$ における最小値を $m$ とする．不等式 $a+2b\leqq 2$ を満足する $a$，$b$ で，$m$ を最大にするものを求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=x^2+ax+b$はしたに凸な２次関数なので全体としては$f'(x)=0$の点で最小値をとる。\\
$f'(x)=2x+a$なので$x=-a/2$の点で最小となる。\\
したがって、$0\leqq x\leqq 1$の範囲で考える場合\\
\begin{align}
-a/2<0 &\qquad(a>0) \label{c.1}\\
0 \leqq -a/2 \leqq 1 &\qquad(-2\leqq a \leqq 0)\label{c.2}\\
-a/2>1 &\qquad(a < -2)\label{c.3}
\end{align}
の３つの場合に分けられる。\\
\\
(\ref{c.1})の場合\\
$x=0$において最小値$b$をとる。\\
したがって$m=b$であり、この範囲で$m$の最大値は\\
$b \leqq 1-a/2$より$m=1-a/2$\\
$a>0$より$m$が最大となるのは$a=0$のときで$m=1$\\
\\
(\ref{c.2})の場合\\
$x=-a/2$のとき最小値$(-a/2)^2+a(-a/2)+b=-a^2/4+b$をとる。\\
このとき、最小値$m=-a^2/4+b$が最大になる場合を考えると\\
bの係数は正なので、$a$が一つ決まったときの$m$の最大値は$b$が最大となるときに限るので\\
$b= 1-a/2$としたときに最大となる。\\
したがって、$m$の最大値のみを考える場合は$m=-a^2/4-a/2+1$として考えてもよい。\\
そのとき、$g(x)=-x^2/4-x/2+1$を考えると、この式は$g'(x)=-x/2-1/2=0 \to x=-1$において最大となる。\\
そのときの最大値は$g(-1)=-(-1)^2/4-(-1)/2+1=-1/4+1/2+1=5/4$
よって$m$は$a=-1$のときに最大値$5/4$をとる。\\
\\
(\ref{c.3})の場合\\
$x=1$において最小値$1+a+b$をとる。\\
$a<-2$より、最小値$1+a+b<1+b-2=b-1$なので$a=-2$のとき$m$は最大値$b-1=1$をとる。\\
そのときの$m$の最大値は$m=1$
\\
以上よりすべての場合を比較して、$m$が最大となるのは、$m=5/4$となる\\
$$a=-1,b=\frac{3}{2}$$
の点となる。
\end{document}

