%2008/10/27 21:30
%Copyright 2008 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$xy$ 平面上の曲線 $y=\sqrt{|x^2-1|}$ と直線 $y=2$ とが囲む図形を $x$ 軸のまわりに回転してえられる回転体の体積を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$y=\sqrt{|x^2-1|}$\\
$x^2<1 \to -1<x<1$の範囲では$y=\sqrt{1-x^2} \to y^2=1-x^2 \to x^2+y^2=1$となり、
半径1の円の$y$軸が正の部分となる。
$x^2 \geqq 1$では、$y=\sqrt{x^2-1} \to y^2=x^2-1 $となり\\
$x^2-1>4 \to |x|>\sqrt{5}$において$y>2$となるので\\
問題の曲線と直線が囲む図形は$-\sqrt{5} \leqq |x| \leqq \sqrt{5}$の範囲となる。\\
したがって、求める体積は半径$2$高さ$2\sqrt{5}$の円柱から\\
半径$1$の球と$1<x<\sqrt{5}$の範囲で$y=\sqrt{x^2-1}$を回転させた図形の２倍を引いたものとなる。\\
$1<x<\sqrt{5}$の範囲で$y=\sqrt{x^2-1}$を回転させた図形の体積は\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dint_{1}^{\sqrt{5}} \pi y^2\;dx}\\
&=&\dint_{1}^{\sqrt{5}} (x^2-1)\pi\;dx\\
&=&\left[ \frac{\pi x^3}{3}-\pi x \right]_1^{\sqrt{5}}\\
&=&\frac{\pi \sqrt{5}^3}{3}-\pi \sqrt{5} - \left(\frac{\pi 1^3}{3}-\pi 1\right)\\
&=&\frac{\pi 5\sqrt{5}-3\sqrt{5}}{3} - \left(\frac{\pi 1^3}{3}-\pi 1\right)\\
&=&\frac{2\pi}{3}\left(\sqrt{5}+1\right)
\end{eqnarray*}
よって、全体の体積は\\
円柱の体積$\pi r^2 h=\pi({2}^2)(2\sqrt{5})=8\pi\sqrt{5}$から
球の体積$\dfrac{4\pi}{3}$と$\dfrac{2\pi}{3}\left(\sqrt{5}+1\right)$の２倍を引いたもの\\
よって
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{8\pi\sqrt{5}-\pi\dfrac{4}{3}-2\left(\frac{2\pi}{3}\left(\sqrt{5}+1\right)\right)}\\
&=&\dfrac{24\pi\sqrt{5}-4\pi-4\pi\sqrt{5}+4\pi}{3}\\
&=&\dfrac{20\pi\sqrt{5}}{3}\\
\end{eqnarray*}
\end{document}

