%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
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\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の頂点を順次 $\text{A}_1$，
$\text{A}_2$，$\cdots$，$\text{A}_n$ とする．まず頂点 $\text{A}_2$ を中
心とする半径 $\text{A}_2\text{A}_1$ の円と辺 $\text{A}_3\text{A}_2$ の延
長（$\Vec{\text{A}_3\text{A}_2}$ の方向）との交点を $\text{B}_1$ として
扇形 $\text{A}_2\text{A}_1\text{B}_1$ をつくる．次に頂点 
$\text{A}_3$ を中心とする半径 $\text{A}_3\text{B}_1$ の円と辺 
$\text{A}_4\text{A}_3$ の延長（$\Vec{\text{A}_4\text{A}_3}$ の方向）との
交点を $\text{B}_2$ として扇形 $\text{A}_3\text{B}_1\text{B}_2$ をつ
くる．順次このようにして $n$ 個の扇形をつくる．さて，正 $n$ 角形 
$\text{A}_1\text{A}_2 \cdots\text{A}_n$ の面積とこれら $n$ 個の扇形の
面積の総和を $S_n$ で表すとき，
\begin{enumerate}
 \item　$S_n$ を $n$，$r$ を用いて表せ．
 \item　$\dlim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
正$n$角形の外角を$t$とすると$t=2\pi/n$\\
同時に角辺をはさむ中心角も$t$に等しい。\\
半径$r$の円に内接する正$n$角形の面積は\\
$\dfrac{nr^2\sin t}{2}=nr^2\sin(t/2)cos(t/2)$\\
正$n$角形の辺の長さを$l$とすると\\
$l=2r\sin(t/2)$(中心角の２等分線と辺は直交するので)\\
$l^2=4r^2\sin^2(t/2)$\\
$k$番目の扇形は半径が$kl$で中心角が$t$なので\\
面積は$\pi (kl)^2/n=\pi k^2l^2/n=4\pi k^2r^2\sin^2(t/2)/n$\\
$n$個の扇形の面積の和は
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dsum_{k=1}^n \pi k^2l^2}\\
&=&\dsum_{k=1}^n 4\pi k^2r^2\sin^2(t/2)/n\\
&=&\dfrac{4\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}}{n} \left(\dsum_{k=1}^n k^2\right)\\
&=&\dfrac{4\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}}{n} \left(\dsum_{k=1}^n k^2\right)\\
&=&\dfrac{4\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}}{n} \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
&=&\dfrac{1}{3}\left(2\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(n+1)(2n+1)
\end{eqnarray*}

面積の合計$S_n$は
$S_n=nr^2\sin(\dfrac{\pi}{n})cos(\dfrac{\pi}{n})+\dfrac{1}{3}\left(2\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(n+1)(2n+1)$\\

$\dlim_{n \to \infty} S_n =\dlim_{n \to \infty} \left(nr^2\sin(\dfrac{\pi}{n})cos(\dfrac{\pi}{n})+\dfrac{1}{3}\left(2\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(n+1)(2n+1)\right)$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(nr^2\sin(\dfrac{\pi}{n})cos(\dfrac{\pi}{n})\right)=\pi r^2$(円の面積)\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{3}\left(2\pi r^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(n+1)(2n+1)\right)
=\dfrac{2\pi r^2}{3}\dlim_{n \to \infty} \left(\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(2n^2+3n+1)$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)(2n^2+3n+1)
=\dlim_{n \to \infty} \left(2n^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}+3n\sin^2\dfrac{\pi}{n}+\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(2n^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)
=2\left(\dlim_{n \to \infty} \left(n\sin\dfrac{\pi}{n}\right)\left(n\sin\dfrac{\pi}{n}\right)\right)$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(n\sin\dfrac{\pi}{n}\right)=\pi$より\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(2n^2\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)=2\pi^2$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(3n\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)
=3\left(\dlim_{n \to \infty} \left(n\sin\dfrac{\pi}{n}\right)\left(\sin\dfrac{\pi}{n}\right)\right)$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(\sin\dfrac{\pi}{n}\right)=0$より\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(3n\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)=0$\\
$\dlim_{n \to \infty} \left(\sin^2\dfrac{\pi}{n}\right)=0$\\
以上より
$\dlim_{n \to \infty} S_n =\pi r^2+\dfrac{4\pi^3 r^2}{3}=\dfrac{3+4\pi^2}{3}\pi r^2$\\

\end{document}

