%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1971年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$xy$ 平面上に2つの動点P，Qがある．Pは点 $(1,0)$ から出発し，原点Oを中
心とする半径1の円周上を正の向きに一定の速さ $\pi$（円周率）で回転する．
Qは点 $(a,0)$ から出発し，$y$ 軸に平行な直線上を $y$ の増加方向に一定の
速さ $v$ で進む．ただし，$0<v<a\pi$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　出発時から測って，時刻 $n$ と $n+1$ との間で3点O，P，Qが1直線上
      に並ぶ時刻 $t_n$ がただ1回あることを示せ．ただし，$n=0$，1，2，
      $\cdots$ とする．
 \item　$n$ が増してゆくと，$t_n-n$ は一定値に近づくことを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$x$軸の正の部分と$\overline{\text{OP}}$のなす角を$b$,\\
$x$軸の正の部分と$\overline{\text{OQ}}$のなす角を$c$とする。\\
時刻$t$において$b=t\pi$\\
したがって,点Pの座標$(p_x,p_y)$は\\
$(p_x,p_y)=(\cos t\pi,\sin t\pi)$\\
このときのQの座標$(q_x,q_y)$は$(q_x,q_y)=(a,vt)$\\
Qが動く直線をLとする\\
1.\\
$n$が偶数の時\\
$t=n$の時のQの座標は$(a,vn)$
Pの座標は$(\cos n\pi,\sin n\pi)=(1,0)$
$t=n+1/2$の時のQの座標は$(a,v(n+1/2))$\\
そのときの角を$c$とすると、$v(n+1/2)=a\;\tan\;c$\\
この時の角$c$は$\tan$の定義から、$0<c<\pi/2$\\
したがって、$n \leqq t \leqq n+1/2$の範囲で、$(t-n)\pi=c$となる$t$がある。\\
そのような$t$を$t_e$とする。\\
このとき、$f(t)=vt-a\;\tan\;\pi t$を考えると\\
$\tan$は周期$2\pi$の周期関数なので、$n$は偶数より$\tan\;(t-n)\pi=\tan\;t\pi$\\
$f(t_e)=vt_e-a\;\tan\;t_e\pi=vt_e-a\;\tan\;(t_e-n)\pi=vt_e-v(n+1/2)=v(t_e-n+1/2)<0$\\
$f(n)=vn-a\;tan\;n\pi=vn>0$\\
$f(t)$は作り方から連続であるから$f(x)=0$となる$x$が$n<x<t_e$の範囲に存在する。\\
$f'(t)=v-a\pi\sec^2\;\pi t$\\
$sec^2\;\pi t\geqq 1$より$f'(t)<0$\\
よって、$f(t)$は単調減少かつ、$f'(t)=0$となる点がないので、この範囲で、$f(x)=0$となる点は１つに限る。\\
以上より、OPQが一直線上にならぶ$t_n$が$n<t_n<n+1$の間で１ただ１回ある。\\
$n$が奇数のとき\\
$t=n$の時のQの座標は$(a,vn)$
Pの座標は$(\cos n\pi,\sin n\pi)=(-1,0)$
$t=n+1/2$の時のQの座標は$(a,v(n+1/2))$\\
そのときの角を$c$とすると、$v(n+1/2)=a\;\tan\;c$\\
この時の角$c$は$\tan$の定義から、$0<c<\pi/2$\\
$n$は奇数なので、$n \leqq t \leqq n+1/2$の範囲で、$(t-n)\pi=c$となる$t$がある。\\
そのような$t$を$t_e$とする。\\
このとき、$f(t)=vt+a\;\tan\;\pi t$を考えると\\
$\tan$は周期$2\pi$の周期関数なので、$n$は奇数より$\tan\;(t-n)\pi=-\tan\;t\pi$\\
$f(t_e)=vt_e+a\;\tan\;t_e\pi = vt_e-a\;\tan\;(t_e-n)\pi=vt_e-v(n+1/2)=v(t_e-n+1/2)<0$\\
となる。\\
$f(n)=vn>0$なので、
偶数の場合と同様、$f(x)=0$となる点がただ一つある。\\
このとき、点POQの順で並んでいるが、１直線上に存在する。\\
以上より、OPQが一直線上にならぶ$t_n$が$n<t_n<n+1$の間で１ただ１回ある。\\
2.\\
１直線上に並ぶ$t_n$を考えると、前述の通り\\
$n$が偶数の場合は\\
$\tan\;(t_n-n)\pi > vn$\\
$\dlim_{n \to \infty} vn = \infty$なので\\
$\dlim_{n \to \infty} \tan\;(t_n-n)\pi =\infty$\\
このとき、$(t_n-n)\pi$は、$\pi/2$に近付く\\
よって、$t_n-n$は$1/2$に近付く\\
$n$が奇数の場合も同様に\\
$\tan\;(t_n-n)\pi < -vn$\\
より、$(t_n-n)\pi$は、$\pi/2$に近付く\\
以上より、$n$が大きくなると、$t_n-n$は$\dfrac{1}{2}$に近付く\\
\end{document}

