%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
3次方程式 $x^3-ax^2+ax-\dfrac{a^2}{9}=0$ が相異なる3実根をもつために，実数の定数 $a$ の満たすべき必要十分条件を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$x^3-ax^2+ax-\dfrac{a^2}{9}=0$が相異なる３実根をもつためには、\\
$y=x^3-ax^2+ax-\dfrac{a^2}{9}$としたとき、\\
$f(x)$と$x$軸との交点が、３点存在することが必要十分。\\
$f(x)$が$x$軸と３点で交わる為には、$f(x)$が、２カ所で極値を持ち、かつ、
その極値の大きい方が正で、小さい方が負であることが必要十分。\\
よって、$f'(x)=0$が、二つの異なる実数を持ち、その時の$x$の値において、\\
$f(x)$が一方は正で、一方が負で有ることが必要十分\\
$f'(x)=3x^2-2ax+a$なので\\
$f'(x)=0$の解は$x=\dfrac{a\pm \sqrt{a^2-3a} }{3}$なので、\\
この値がで実数かつ異なる為には、$a^2-3a > 0$が必要かつ十分。\\
つまり、$a(a-3) > 0$より、$a > 3$または$a < 0$のとき、異なる２実根をもつ。\\
これは３実根を持つためには必要。\\
そのときの$f(x)$の値は、それぞれ
\begin{eqnarray}
f(\dfrac{a+\sqrt{a^2-3a}}{3})&=&-\dfrac{2(a-3)a(\sqrt{(a-3)a}+ a)}{27} \label{v1}\\
f(\dfrac{a-\sqrt{a^2-3a}}{3})&=&\dfrac{2(a-3)a(\sqrt{(a-3)a}-a)}{27} \label{v2}
\end{eqnarray}
$a>3$のとき、(\ref{v1})$<0$\\
しかし、(\ref{v2})において$\sqrt{(a-3)a}- a<0$なので$(\ref{v2})<0$\\
したがって、極値はともに負となり、$f(x)=0$は３実根を持たない\\
次に$a<0$の場合\\
$\sqrt{(a-3)a}- a>0$より、
(\ref{v2})$>0$\\
$(\sqrt{(a-3)a}+ a)(\sqrt{(a-3)a}- a)=-3a>0$\\
$(\sqrt{(a-3)a}- a)>0$より、$(\sqrt{(a-3)a}+ a)>0$\\
したがって、(\ref{v1})$<0$\\
よって、(\ref{v1})$<0$,(\ref{v2})$>0$より３実根をもつ。\\
以上より、$a<0$において、$f'(x)=0$は異なる二つの解を持ち、それぞれの極値が正、負に別れるので
$f(x)=0$を持つためには必要十分である。。\\
以上より$f(x)=0$が３実根を持つためには、$a<0$が必要十分\\
\end{document}
