%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$，$c$ を定数，$t$ を媒介変数として次の式で表わされる $xy$ 平面上の
曲線がある．
\[
\begin{cases}
x=ca^t+t,& (a>1)\\
y=ca^t-t & (t \text{はすべての実数値をとる})
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
 \item　$c=1$ のとき，この曲線の概形をえがけ．（座標軸を回転して考えよ）

 \item　平面上のどのような点 $(p,q)$ をあたえても，$c$ を適当に選べば，
	  上の曲線はこの点 $(p,q)$ を通ることを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
座標軸を反時計方向に$\pi/4$回転させると\\
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x'\\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{\cos -\pi/4} &-{\sin -\pi/4}\\
{\sin -\pi/4} &{\cos -\pi/4}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}} &\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\
-\dfrac{1}{\sqrt{2}} &\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x+y)\\
\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-x+y)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{2}}(2ca^t)\\
\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-2t)
\end{pmatrix}
\end{equation*}
したがって、
\begin{equation*}
(x',y')=(\sqrt{2}ca^t,-\sqrt{2}t)
\end{equation*}
$t \to -\infty$において、$x'=0$に近付き、$t \to \infty$において、$y=-\infty$に発散するが\\
傾きは０に近付く、点$(\sqrt{2},0)$を通る曲線\\
\includegraphics[width=5cm,clip]{1972l_5.eps}
座標軸をもとに戻すと
\includegraphics[width=5cm,clip]{1972l_5_2.eps}
\\
2.$(p,q)$を通るためには、
$p=ca^t+t,q=ca^t-t$となる$t$が存在すればよい。\\
$p-q=2t$より、
$$t=\dfrac{p-q}{2}$$
となる$t$を定めると\\
$p=ca^{((p-q)/2)}+(p-q)/2$\\
となるのでこのときの$c$を
$c=\dfrac{(p+q)/2}{a^{((p-q)/2)}}$とすれば
\begin{eqnarray*}
q&=&\dfrac{p+q}{2a^{(p-q)/2}}a^{(p-q)/2}+\dfrac{p-q}{2}\\
&=&\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{p-q}{2}\\
&=&\dfrac{p-q-p-q}{2}\\
&=&q
\end{eqnarray*}
となり、成立する。\\
\\
よって、任意の$(p,q)$について、適当な値$c$をとれば、曲線は$(p,q)$を通る。\\
\end{document}

