%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$9u_{n+1}=(10-{u_n}^2)u_n$（$n=1$，2，$\cdots$）で定められる数列 $u_n$ がある．いま，$0<u_1<\dfrac{3}{2}$ と仮定するとき次のことを示せ．
\begin{enumerate}
 \item　すべての $n$ について，$0<u_n<\dfrac{3}{2}$
 \item　$u_1>u_2$ ならばすべての $n$ について $u_n>u_{n+1}$，$u_1<u_2$ ならばすべての $n$ について $u_n<u_{n+1}$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$u_{n+1}=(10-{u_n}^2)u_n/9$\\
1.\\
$u_{k-1}$で成立すると仮定すると、\\
$u_{k}=(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}/9$\\
${u_{k-1}}^2<\dfrac{9}{4}$より\\
$10-\dfrac{9}{4}<10-{u_{k-1}}^2$\\
$0<u_{k-1}$より\\
$(10-\dfrac{9}{4})u_{k-1}<(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}$\\
$(10-\dfrac{9}{4})u_{k-1}/9<(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}/9$\\
$(10-\dfrac{9}{4})>0$より、\\
$(10-\dfrac{9}{4})u_{k-1}/9>0$\\
よって\\
$0<\dfrac{(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}}{9}$\\
また、$f(x)=(10-x^2)x/9$を考えると\\
$f'(x)=(10-3x^2)/9$
$f'(x)=0$となるのは、$x=\pm \sqrt{10/3}$\\
$10/3 > 9/4$より$\sqrt{10/3}>3/2$\\
したがって、$0<x<3/2$の範囲では、$f'(x)$は正\\
よって、$f(x)$は単調増加なので、$0<x<3/2$の区間では、$x=3/2$の点で最大となり、\\
その値は、$(10-(3/2)^2)(3/2)/9=31/24$\\
$31/24<3/2$より、$f(x)<3/2$\\
よって、$\dfrac{(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}}{9}<\dfrac{3}{2}$\\
$n=1$で成立し、$n=k-1$で成立すると仮定すると、$n=k$で成立するので、数学的帰納法より、すべての$n$において成立する。\\
2.\\
$d_k=u_{k}-u_{k-1}$を考える。\\
$u_{k}=(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}/9$より\\
\begin{eqnarray*}
d_k&=&\dfrac{(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}}{9}-u_{k-1}\\
&=&\dfrac{(10-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}-9u_{k-1}}{9}\\
&=&\dfrac{(1-{u_{k-1}}^2)u_{k-1}}{9}
\end{eqnarray*}
$g(x)=(1-x^2)x/9$を考えると\\
$g'(x)=(1-3x^2)/9$\\
$g'(x)=0$となるのは$x=\pm\sqrt{1/3}$で、\\
$0<x<3/2$の範囲では、$x=\sqrt{1/3}$のとき、\\
よって、$g(x)$は$0<x<\sqrt{1/3}$の範囲で単調増加、$\sqrt{1/3}<x<3/2$で単調減少となる。\\
また、$g(x)=0$となるのは、$x=\pm 1,0$なので、
$g(0)=0$より、\\
$0<x<1$の範囲で、g(x)は正\\
$1<x<3/2$の範囲で、g(x)は負\\
つまり、$u_k$が$0<x<1$の範囲にあるときは、$u_{k+1}>u_k$\\
$u_k$が$1<x<3/2$の範囲にあるときは、$u_{k+1}<u_k$\\
$0<u_{k-1}<1$ならば、前の通り、$f(x)$は$x=1$で最大となり、その値は、$f(1)=1$\\
帰納法より$u_n<1$\\
したがって、上述の通り、$u_{n+1}>u_n$\\
また$1<u_{k-1}<3/2$ならば$f(x)$は$x=1$で最小となり、\\
その値は、$f(1)=1$なので、帰納法より$u_n>1$\\
上述の通り、$u_{n+1}<u_n$\\
以上より\\
$u_2>u_1$ならば、上述の通り、$d_2>0$より、\\
$\dfrac{(1-{u_1}^2)u_1}{9}>0$\\
$u_1>0,9>0$より\\
$1-{u_1}^2>0$\\
$1>{u_1}^2$\\
$u_1>0$なので
$1>u_1$\\
よって、$0<u_1<1$\\
また\\
$u_2>u_1$ならば、上述の通り、$d_2<0$より、\\
$\dfrac{(1-{u_1}^2)u_1}{9}<0$\\
$u_1>0,9>0$より\\
$1-{u_1}^2<0$\\
$1<{u_1}^2$\\
$u_1>0$なので
$1<u_1$\\
よって、$1<u_1<3/2$\\
以上より\\
$u_2>u_1$ならば$0<u_1<1$で、$u_{n+1}>u_n$\\
$u_2<u_1$ならば$1<u_1<3/2$で、$u_{n+1}<u_n$\\
となる。\\
\end{document}

