%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
2つまたは3つのベクトルの加法ついて，次の法則が成立する．\\
$\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}}=\Vec{\text{B}}+\Vec{\text{A}}$，$(\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}})+\Vec{\text{C}}=\Vec{\text{A}}+(\Vec{\text{B}}+\Vec{\text{C}})$\\
いま，$n$ 個のベクトルを $\Vec{\text{A}_1}$，$\Vec{\text{A}_2}$，$\cdots$，$\Vec{\text{A}_n}$ とし，その順序を任意にかえたものを $\Vec{\text{B}_1}$，$\Vec{\text{B}_2}$，$\cdots$，$\Vec{\text{B}_n}$ とする．上の2つの法則だけをつかって，\\
$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_n}=\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_n}$\\
が成り立つことを数学的帰納法で示せ．なお，なお，たとえば4つのベクトル $\Vec{\text{A}}$，$\Vec{\text{B}}$，$\Vec{\text{C}}$，$\Vec{\text{D}}$\ について，その和\ $\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}}+\Vec{\text{C}}+\Vec{\text{D}}$ は\ $\{(\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}})+\Vec{\text{C}}\}+\Vec{\text{D}}$ を意味するとし，一般の場合も同様とする．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
任意の置換はとなりあう二つの互換の積に分解される。\\
証明終了。\\
$\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}}=\Vec{\text{B}}+\Vec{\text{A}}$を法則１\\
$(\Vec{\text{A}}+\Vec{\text{B}})+\Vec{\text{C}}=\Vec{\text{A}}+(\Vec{\text{B}}+\Vec{\text{C}})$を法則２とする。\\
$n=2$の場合\\
$$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}=\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}$$
は法則１から正しい。\\
\\
$n=3$の場合\\
$$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}=\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\Vec{\text{B}_2}$$
$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}$の並び変えの種類を尽くすと\\
以下の6通りとなる。\\
$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}$\\
$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2}$\\
$\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3}$\\
$\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1}$\\
$\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}$\\
$\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1}$\\
$\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\Vec{\text{B}_2}$は以上のどれかと一致するのでそれぞれが$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}$と等しいことをいえれば十分である。\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}=\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}}
\end{eqnarray*}
は自明\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3})+\Vec{\text{A}_2}(\mbox{定義より})\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2})(\mbox{法則２より})\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3})(\mbox{法則１より})\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_3}(\mbox{法則２より})\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}(\mbox{定義より})
\end{eqnarray*}
以下同様に
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3})+\Vec{\text{A}_1}\\
&=&\Vec{\text{A}_2}+(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1})\\
&=&\Vec{\text{A}_2}+(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3})\\
&=&(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1})+\Vec{\text{A}_2}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3})+\Vec{\text{A}_2}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2})\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3})\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_1}\\
&=&(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3})+\Vec{\text{A}_1}\\
&=&\Vec{\text{A}_2}+(\Vec{\text{A}_3}+\Vec{\text{A}_1})\\
&=&\Vec{\text{A}_2}+(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_3})\\
&=&(\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_1})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2})+\Vec{\text{A}_3}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\Vec{\text{A}_3}\\
\end{eqnarray*}
以上より$n=3$の場合も成立する。\\
\ \\
$n \leqq k$の場合正しいと仮定すると\\
$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}=\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_k}$\\
が成り立つ。\\
このとき
$\Vec{\text{A}_{k+1}}$を追加して、任意に並べかえたものを$\Vec{\text{B}_1}$，$\Vec{\text{B}_2}$，$\cdots$，$\Vec{\text{B}_{k+1}}$とする。\\
そのとき、$\Vec{\text{A}_{k+1}}$が$\Vec{\text{B}_{l}}\ (1 \leqq l \leqq k+1)$となったとする。\\
$l=1$のときは、\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_l}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}}}\\
&=&\Vec{\text{B}_1}+(\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_l}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}})\\
&=&(\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_l}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}})+\Vec{\text{B}_1}
\end{eqnarray*}
$l=1$より$\Vec{\text{B}_1}=\Vec{\text{A}_{k+1}}$なので\\
括弧内は、$\Vec{\text{A}_{k+1}}$以外の$k$個を並べ変えた和となり、\\
前提より$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}$に等しい\\
したがって、$n=k+1$のとき成り立つ。\\
$l=k+1$の場合は、
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_k}+\Vec{\text{B}_{k+1}}}\\
&=&(\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_k})+\Vec{\text{B}_{k+1}}\\
&=&(\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_k})+\Vec{\text{A}_{k+1}}\\
&=&(\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k})+\Vec{\text{A}_{k+1}}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}+\Vec{\text{A}_{k+1}}
\end{eqnarray*}
となり、成立する。\\
\\
$1<l<k+1$のとき、\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_l}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}}}\\
&=&\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}+\Vec{\text{A}_{k+1}}
\end{eqnarray*}
$l=k+1$
\\

\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_l}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}}}\\
&=&(((((\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2})+\cdots)+\Vec{\text{B}_l})+\cdots)+\Vec{\text{B}_{k}})+\Vec{\text{B}_{k+1}}(\mbox{定義より})\\
&=&((((\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2})+\cdots)+\Vec{\text{B}_l})+\cdots)+(\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}})(\mbox{法則２より})\\
&=&(((\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2})+\cdots)+\Vec{\text{B}_l})+(\cdots+(\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}}))(\mbox{くりかえし})\\
&=&((\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2})+\cdots)+\Vec{\text{B}_l}+(\cdots+(\Vec{\text{B}_{k}}+\Vec{\text{B}_{k+1}}))\mbox{定義より})
\end{eqnarray*}
この式を以下の様に三つの部分に分けて考える。\\
$(\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots)+\Vec{\text{B}_l}+(\cdots+\Vec{\text{B}_{k+1}})$\\
各括弧の中をそれぞれ\\
$\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots+\Vec{\text{B}_{l-1}}=\Vec{\text{L}}$\\
$\Vec{\text{B}_{l+1}}+\cdots+\Vec{\text{B}_{k+1}}=\Vec{\text{R}}$\\
とおくと\\
$n=3$のとき成り立つので\\
$\Vec{\text{L}}+\Vec{\text{B}_l}+\Vec{\text{R}}=\Vec{\text{L}}+\Vec{\text{R}}+\Vec{\text{B}_l}$\\
$\Vec{\text{L}}+\Vec{\text{R}}$は$\Vec{\text{A}_1}$から$\Vec{\text{A}_k}$の$k$個のベクトルを入れ換えた和なので\\
前提より$\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}$に等しい。\\
したがって、
$(\Vec{\text{B}_1}+\Vec{\text{B}_2}+\cdots)+\Vec{\text{B}_l}+(\cdots+\Vec{\text{B}_{k+1}})=\Vec{\text{A}_1}+\Vec{\text{A}_2}+\cdots+\Vec{\text{A}_k}+\Vec{\text{A}_{k+1}}$\\

よって、$n=k+1$のときも成り立つ。\\
以上より、数学的帰納法により、任意の$n$について、成り立つ。\\
\end{document}

