%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
実数または複素数の $x$，$y$，$z$，$a$ について，$x+y+z=a$，
$x^3+y^3+z^3=a^3$ の2式が成立するとき，$x$，$y$，$z$ のうちの少なく
とも一つは $a$ に等しいことを示せ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
問題より
\begin{eqnarray}
x+y+z&=&a \label{eq.1}\\
x^3+y^3+z^3&=&a^3 \label{eq.2}
\end{eqnarray}
 なので\\
(\ref{eq.1})の$a$ を(\ref{eq.2})に代入すると\\
\begin{equation*}
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3
\end{equation*}
右辺を左辺に移項して展開すると
\begin{equation*}
3\*y\*z^{2}+3\*x\*z^{2}+3\*y^{2}\*z+6\*x\*y\*z+3\*x^{2}\*z+3\*x\*y^{2}+3\*x^{2}\*y=0
\end{equation*}

左辺を因数分解すると
\begin{equation*}
3\*\left(x+y\right)\*\left(z+x\right)\*\left(y+z\right)=0
\end{equation*}
$3,x,y,z$はそれぞれ実数または複素数なのでその和である各項もまた実数または複素数\\
実数または複素数の積が0になるためにはそのうち少なくとも一つが０でなければならない。\\
したがって、
$x+y=0$ または $y+z=0$ または $x+z=0$\\
よって、式(\ref{eq.1})に代入すると、
\begin{eqnarray*}
x+y=0 &\to z=a\\
y+z=0 &\to x=a\\
x+z=0 &\to y=a
\end{eqnarray*}
となり、$x,y,z$の少なくとも一つは$a$ に等しい。

\end{document}
