%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　三角形ABCの内部の1点Pを頂点とする1つの平行四辺形をPQRSとする．PからQへ向かう半直線が三角形ABCの周と交わる点を$\text{Q}'$とし，$\text{R}'$，$\text{S}'$も同様の点とする．\\
$\Vec{\text{PQ}}=a\Vec{\text{PQ}'}$，$\Vec{\text{PR}}=b\Vec{\text{PR}'}$，$\Vec{\text{PS}}=c\Vec{\text{PS}'}$\\
とおくとき，$a+c\geqq b$ が成立することを示せ．（$\Vec{\text{PQ}}$ などはベクトルを表わす）\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$a,b,c$はそれぞれ点Pを始点とする半直線上の点なので、$a,b,c$は正\\
また、$a,b,c$のいずれか一つでも$0$となると、PQRSは四辺形にならないので、$a>0,b>0,c>0$\\
PQRSは平行四辺形なので
$$\overrightarrow{\text{PQ}}+\overrightarrow{\text{PS}}=\overrightarrow{\text{PR}}$$
したがって、
$$a\overrightarrow{\text{PQ}'}+c\overrightarrow{\text{PS}'}=b\overrightarrow{\text{PR}'}$$
よって、
$$\overrightarrow{\text{PR}'}=\dfrac{a\overrightarrow{\text{PQ}'}+c\overrightarrow{\text{PS}'}}{b}$$
したがって、半直線PRと辺Q$'$S$'$の交点は辺Q$'$S$'$上にある。\\
\\
点Q$'$,S$'$は三角形ABCの辺上の点なので辺Q$'$S$'$は三角形ABCの内部または辺上にある。\\
もし、点R$'$と点Pが直線Q$'$S$'$の上になく同じ側にあるとすると、\\
点R$'$は点Pは三角形ABCの内部の点なので、三角形の辺上の点Q$'$,S$'$とつくる三角形PQ$'$S$'$の内部ある。\\
しかし、点R$'$は三角形ABCの辺上の点なので、これは矛盾する。\\
したがって、点R$'$は直線Q$'$S$'$の上にあるか、Pとは反対側に存在する。\\
よって、
辺Q$'$S$'$上の点TへのPからのベクトルは
$$\overrightarrow{\text{PT}}=d\overrightarrow{\text{PQ}'}+(1-d)\overrightarrow{\text{PS}'}\ \ (0<d<1)$$
と表せるので\\
$$\overrightarrow{\text{PR}'}=f\overrightarrow{\text{PT}}$$
としたとき、$f \geqq 1$\\
となる。\\
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\text{PR}'}&=&f(d\overrightarrow{\text{PQ}'}+(1-d)\overrightarrow{\text{PS}'})\\
\overrightarrow{\text{PR}'}&=&\dfrac{a\overrightarrow{\text{PQ}'}+c\overrightarrow{\text{PS}'}}{b}\\
\end{eqnarray*}
より\\
$$f(d\overrightarrow{\text{PQ}'}+(1-d)\overrightarrow{\text{PS}'})=\dfrac{a\overrightarrow{\text{PQ}'}+c\overrightarrow{\text{PS}'}}{b}$$
両辺に$b$をかけて
$$fb(d\overrightarrow{\text{PQ}'}+(1-d)\overrightarrow{\text{PS}'})=a\overrightarrow{\text{PQ}'}+c\overrightarrow{\text{PS}'}$$
$$(fbd-a)\overrightarrow{\text{PQ}'}+(fb(1-d)-c)\overrightarrow{\text{PS}'})=0$$
PQ$'$とPS$'$は同一直線ではないので、この式が成立するためには、
$fbd-a=0,fb(1-d)-c=0$でなければならない。\\
よって、
$$a=fbd,c=fb(1-d)$$
したがって、
$$a+c=fbd+fb(1-d)=fb$$
ここで$f \geqq 1$なので、$fb \geqq b$\\
よって、$a+c \geqq b$\\
\end{document}

