%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a$，$b>0$）の上の点 P$(x,y)$ を媒介変数 $u$ を使って，$x=a\cos u$，$y=b\sin u$（$0\leqq u<2\pi$）で表す．時間を $t$ とし，Pは $t$ の変化につれて次のように移動する．時刻 $t=0$ のとき点Pは $(a,0)$ にあり，その後この楕円上を時計の針の進行方向と逆の方向に動く．時刻 $t$（$>0$）までに線分OPの通過した部分の面積を $S$ とする．つねに $\dfrac{dS}{dt}=1$ であるとき，$u$ を $t$ の関数として表わせ．（Oは原点である．）\\
\\
{\large 解答}\\
\\
OPの移動する図形は、半径1内角$u$の扇形を、$x$方向に$a$倍、$y$方向に$b$倍したものに等しい。\\
したがって、
$$S=abu$$
$$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{du}\dfrac{du}{dt}$$
より、
$$\dfrac{dS}{du}\dfrac{du}{dt}=1$$
$$\dfrac{dS}{du}=ab$$より
$$\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{ab}$$
よって、$u=f(t)$とすると\\
$$f'(t)=\dfrac{1}{ab}$$
より,$f(t)=\dfrac{1}{ab}t+c$ ($c$は定数)\\
$f(0)=0$より、$c=0$\\
よって、
$$u=\dfrac{t}{ab}$$
\end{document}

