%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$n$ 枚のカードがあり，それぞれのカードには $a_1$，$a_2$，$\cdots$，
$a_n$ という数字が記入されている．これをよく混ぜて無作為（任意）に1枚の
カードを取り出すとき，それに記入された数の期待値（平均値）を $E$ とする．
また，同時に2枚のカードを取り出すとき，記入された2数の和の期待値（平均値）
を $F$ とすれば，$F=2E$ となることを示せ．（$n\geqq 2$）\\
\\
{\large 解答}\\
$a_1,\cdots,a_n$ から１枚引くときの期待値は
\begin{equation}
E=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}{n} = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \label{eq.1}
\end{equation}
１枚目が$a_k(1 \le k \le n)$だった場合の２枚目のカードの期待値を$E_2$とおくと
\begin{equation}
E_2=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}{n-1} (i \neq k) = 
\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+a_{k+1}+\cdots+a_n}{n-1}
\label{eq.2}
\end{equation}
したがって、１枚目が$a_k$だった時の２枚の合計の期待値は
\begin{equation}
a_k+E_2=a_k+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k-1}+a_{k+1}+\cdots+a_n}{n-1}
\label{eq.3}
\end{equation}
よって、２枚のカードの合計の期待値は
\begin{equation}
F=
\frac{
\displaystyle
\sum_{i=1}^n \left(a_i+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots+a_n}{n-1}\right)
}
{n}
\label{eq.4}
\end{equation}

\begin{eqnarray*}
nF&=&a_1+\frac{a_2+\cdots+a_n}{n-1}+\\
&&a_2+\frac{a_1+a_3+\cdots+a_n}{n-1}+\\
&&a_n+\frac{a_1+\cdots+a_{n-1}}{n-1}\\
&=&a_1+\cdots+a_n+\\
&&\frac{
  (a_2+\cdots+a_n)+
  (a_1+a_3+\cdots+a_n)+
  \cdots+
  (a_1+\cdots+a_{n-1})
}
{n-1}
\end{eqnarray*}
このとき$a_1+a_2+\cdots+a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots+a_n$は\\
$i=1$から$i=n$のすべての場合をわたるから$a_k$はそれぞれ１回ずつ式に現れない。\\
つまり$a_k$は$n-1$回現れるので
\begin{eqnarray*}
nF&=&nE + \frac{a_1(n-1)+a_2(n-1)+\cdots+a_n(n-1)}{n-1}\\
&=&nE + a_1+a_2+\cdots+a_n
\label{eq.5}
\end{eqnarray*}
したがって
\begin{eqnarray*}
F&=&E+\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\\
&=&E+E\\
&=&2E
\end{eqnarray*}
\end{document}
