%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1972年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$n$ 枚のカードがあり，それぞれのカードには $a_1$，$a_2$，$\cdots$，
$a_n$ という数字が記入されている．これをよく混ぜて無作為（任意）に1枚の
カードを取り出すとき，それに記入された数の期待値（平均値）を $E$ とする．
また，同時に2枚のカードを取り出すとき，記入された2数の和の期待値（平均値）
を $F$ とすれば，$F=2E$ となることを示せ．（$n\geqq 2$）\\
\\
{\large 解答}\\
$a_1,\cdots,a_n$ から１枚引くときの期待値は
\begin{equation}
E=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i}{n} = \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \label{eq.1}
\end{equation}
2枚連続で引く場合の考えられる２枚の組合せは\\
$(a_1,a_2),(a_1,a_3),\cdots,(a_i,a_1),\cdots,(a_i,a_{i-1}),(a_i,a_{i+1}),\cdots,(a_i,a_n),\cdots,(a_{n-1},a_n)$\\
となる。\\
当然このときの和は\\
$a_1+a_2,a_1+a_3,\cdots,a_i+a_1,\cdots,a_i+a_{i-1},a_i+a_{i+1},\cdots,a_i+a_n,\cdots,a_{n-1}+a_n$\\
となる。\\
したがって、全ての組合せの和$S_2$は\\
$S_2=(a_1+a_2)+(a_1+a_3)+\cdots+(a_i+a_1)+\cdots+(a_i+a_{i-1})+(a_i+a_{i+1})+\cdots+(a_{n-1}+a_n)$\\
となる。\\
この和を順序を入れ換えて整理すると
\begin{eqnarray*}
S_2&=&(n-1)a_1+(n-1)a_2+\cdots+(n-1)a_n\\
&+&a_2+a_3+\cdots+a_n\\
&+&a_1+a_3+\cdots+a_n\\
&+&a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n\\
& &\vdots\\
&+&a_1+\cdots+a_{i-1}+a_{i+1}+\cdots+a_n\\
& &\vdots\\
&+&a_1+\cdots+a_{n-2}+a_n\\
&+&a_1+\cdots+a_{n-1}
\end{eqnarray*}
２行目以降各$a_1$は$n-1$回現れるので
\begin{eqnarray*}
S_2&=&(n-1)a_1+(n-1)a_2+\cdots+(n-1)a_n\\
&+&(n-1)a_1+(n-1)a_2+\cdots+(n-1)a_n
\end{eqnarray*}
したがって
\begin{equation}
S_2=2(n-1)(a_1+a_2+\cdots+a_n)
\end{equation}
また全ての組合せの数$P$は$n$枚から$2$枚取り出す順列なので
\begin{equation}
P={}_{n}\mathrm{P}_{2}=n(n-1)
\end{equation}
期待値$F$は
\begin{eqnarray*}
F&=&S_2/P\\
&=&\frac{2(n-1)(a_1+a_2+\cdots+a_n)}{n(n-1)}\\
&=&2\frac{(a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}
\end{eqnarray*}
(\ref{eq.1})より、
\begin{equation}
F=2E
\end{equation}
証明終了
\end{document}
