%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
10 進法で 3 けたの整数 $\alpha$（$\geqq 0$）をとり，$\alpha$ の一の位の数と百の位の数を入れかえてできる数を $\alpha'$ とする．\\
ただし，1 けたの数，2 けたの数もそれぞれその前に 00 および 0 をつけて 3 けたの数とみなす．\\
$\alpha$ が 0 から 999 までのすべての整数をとるとき，整数 $\alpha-\alpha'$ 全体の集合を $A$ とし，\\
$A$ に含まれる正の整数全体の集合を $B$ とする．\\
このとき
\begin{enumerate}
 \item　$A$，$B$ に属する整数の個数を求めよ．
 \item　$B$ の属する整数の総和を求めよ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$\alpha=100a+10b+c$とおくと\\
$\alpha'=100c+10b+a$となり\\
$\alpha-\alpha'=100(a-c)+c-a=99(a-c)$となる。\\
$a,c$共に、$0$から$9$の範囲をそれぞれ移動し、すべての組合せが存在する。\\
そのそれぞれについて、$b$が$0$から$9$までの１０通りが考えられるがそれらはすべて整数としてはおなじものなので要素としては１つと数える。\\
したがって、$(a-c)$の可能なすべての組合せは100通りあるが、実際に異なるものは$9$から$-9$までの19通りしかない。\\
そのそれぞれについて、$99(a-c)$については異なる値となるので、\\
$A$に属する整数の個数は、$19$個\\
$9$から$-9$の範囲で、正なるものは、$9$から$1$までの９個\\
$B$に属する数の個数は９個\\
2.\\
$B$に属する整数は、$1$から$9$に$99$をかけたものなので、その総和は
$$\dsum_{k=1}^9 99k=45*99=4455$$
よって、$B$に属する整数の総和は$4455$\\
\end{document}

