%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$p$，$q$，$r$ は実数とする．3次方程式 $x^3+px^2+qx+r=0$ において，一根が 1 で，他の二根はその絶対値がいずれも 1 であるための必要十分条件を求めよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
１根が１なので、$x^3+px^2+qx+r=0$に$x=1$を代入してもこの式は成立する。
したがって
\begin{equation}
1+p+q+r=0
\label{eq.1}
\end{equation}
残りの２根を$a,b$とすると\\
この式は
\begin{equation}
(x-1)(x-a)(x-b)=0
\end{equation}
と因数分解される。\\
この式を展開すると
\begin{equation}
x^{3}-b\*x^{2}-a\*x^{2}-x^{2}+a\*b\*x+b\*x+a\*x-a\*b
\end{equation}
となるので、各次数の係数をまとめると
２次の係数が$-(b+a+1)$\\
１次の係数が$ab+a+b$\\
定数項が$-ab$\\
となる\\
これらが$p,q,r$に一致するので
また(\ref{eq.1})から$r=-(p+q+1)$なので
\begin{eqnarray*}
p&=&-(b+a+1)\\
q&=&ab+a+b\\
p+q+1&=&ab
\end{eqnarray*}
となる。

そこで$a,b$について解くと
\begin{equation}
a+b=-(p+1)
\label{eq.2}
\end{equation}
\begin{equation}
ab=p+q+1
\label{eq.3}
\end{equation}
(\ref{eq.2})から
\begin{equation}
b=-(a+p+1)
\label{eq.4}
\end{equation}
(\ref{eq.4})を(\ref{eq.3})に代入して
\begin{equation}
-a(a+p+1)=p+q+1
\end{equation}

整理すると
\begin{equation}
a^2+pa+a+p+q+1=0
\end{equation}
$a$について解くと
\begin{equation}
\left[ a=-\frac{\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}+p+1}{2},\linebreak[0]a
 =\frac{\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}-p-1}{2} \right]
\end{equation}
$a$ を(\ref{eq.4})に代入して
\begin{equation}
\left[ b=\frac{\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}-p-1}{2},\linebreak[0]b
 =-\frac{\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}+p+1}{2} \right]
\end{equation}
$a,b$は対等なので$a$と$b$はこの二つの解のそれぞれになる。\\
この平方根の中の正負で分けて考える。\\
負の場合\\
$p,q$は実数なのでこの解が複素数になるのは、平方根の中が負になる場合に限る\\
その場合、実部は$-(p+1)/2$、虚部は$\pm(\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3})/2$となるので
$a,b$は互いに共役となる。\\
またこの絶対値は
\begin{eqnarray*}
& &\sqrt{\left(\sqrt(-4q+p^2-2p-3)/2\right)^2+((p+1)/2)^2}\\
&=& \sqrt{(4q-p^2+2p+3+p^2+2p+1)/4}\\
&=& \sqrt{(4p+4q+4)/4}\\
&=& \sqrt{p+q+1}\\
\end{eqnarray*}
($-4\*q+p^{2}-2\*p-3<0$より$\left(\sqrt{(-4q+p^2-2p-3)}/2\right)^2=4q-p^2+2p+3$)\\
この値が１である必要があるから
\begin{eqnarray*}
\sqrt{p+q+1}&=&1\\
p+q+1&=&1\\
p+q&=&0
\end{eqnarray*}
\\
平方根の中が正の場合\\
$a,b$ともに正とはならないので一方が１他方が-1となる。\\
\begin{equation}
\frac{\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}-p-1}{2}= 1
\end{equation}
のを場合考えると\\
\begin{eqnarray*}
\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}-p-1&=&2\\
\sqrt{-4\*q+p^{2}-2\*p-3}&=&p+3\\
-4\*q+p^{2}-2\*p-3&=&(p+3)^2\\
-4\*q+p^{2}-2\*p-3&=&p^2+6p+9\\
4\*\left(q+2\*p+3\right)&=&0\\
q+2p&=&-3\\
\end{eqnarray*}
\end{document}

