%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
底辺の長さが $a\;\text{cm}$，その辺に対する頂角の大きさが\ $\theta^\circ$ ($0<\theta<180)$ であるような三角形の面積の数値全体の集合を $S(a,\theta)$ で表わす．\\
いま
\[
 0<a_1\leqq a_2\text{， } 0<\theta_2\leqq\theta_1<180
\]
であるとき，$S(a_1,\theta_1)$ と $S(a_2,\theta_2)$ の包含関係をしらべよ．\\
とくに等しくなるのはどのような場合か．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
底辺と頂角が一定の三角形の頂点は、底辺を弦とする円周上にあるので面積が最小となるのは、頂点が底辺の端点と一致したときで$0$\\
面積が最大となるのは、頂点が底辺の垂直二等分線上に位置する場合で、その面積は、
$$\dfrac{a^2}{4\tan \theta/2}$$
したがって、
$$S(a,\theta)=\left(x|0<x<\dfrac{a^2}{4\tan \theta/2}\right)$$
よって、
$ 0<a_1\leqq a_2\text{， } 0<\theta_2\leqq\theta_1<180$より\\
$0<\theta_2/2 \leqq \theta_1/2 < 90$\\
$\tan$はこの範囲で、単調増加なので、$\tan \theta_2/2 \leqq \tan \theta_1/2$\\
したがって、\\
$\dfrac{1}{\tan \theta_2/2} \geqq \dfrac{1}{\tan \theta_1/2}$\\
よって、
$\dfrac{{a_2}^2}{4\tan \theta_2/2} \geqq \dfrac{{a_1}^2}{4\tan \theta_1/2}$\\
以上より、
$$S(a_1,\theta_1) \subset S(a_2,\theta_2)$$
\\
また、この集合が一致するのは\\
$\dfrac{{a_2}^2}{4\tan \theta_2/2} = \dfrac{{a_1}^2}{4\tan \theta_1/2}$\\
のときなので、
${a_2}^2(4\tan \theta_1/2) = {a_1}^2(4\tan \theta_2/2)$\\
$$\dfrac{\tan \theta_1/2}{\tan \theta_2/2} = \dfrac{{a_1}^2}{{a_2}^2}$$
\end{document}

