%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$ は平面上の単位ベクトルで，どの二つ
も $120^\circ$ の角をなすものとする．このとき，この平面上の任意のベクト
ル $\boldsymbol{x}$ に対して
\begin{enumerate}
 \item　$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x}=0$ 
	  が成り立つことを示せ．
 \item　
	  $(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})^2+(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{x})^2+(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x})^2$ の値を $\boldsymbol{x}$ の大きさ $l$ を用いて表わせ． 
\end{enumerate}
ただし，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x}$ などはベクトルの内積を表わす．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
座標軸を $\boldsymbol{a}$が原点からのベクトルとし、$x$軸の正の方向に一致する様にとる。\\
そのとき、反時計周りの角度を正とする。\\
$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$のなす角が$120^\circ$なので、
$\boldsymbol{b}$を$\boldsymbol{a}$を正の方向に$120^\circ$回転させたものとすると、
$\boldsymbol{c}$は、負の方向に$120^\circ$回転させたものとなる。\\
でなければ、$\boldsymbol{b}$と$\boldsymbol{c}$が一致してしまい、$\boldsymbol{b}$と$\boldsymbol{c}$が$120^\circ$の角をなさなくなってしまう。\\
また、$\boldsymbol{c}$は、負の方向に$120^\circ$回転させたものとすると、たしかに$\boldsymbol{b}$と$\boldsymbol{c}$は$120^\circ$の角をなす。\\
このとき、$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$は単位行列なのでそれぞれは\\
$\boldsymbol{a}=(1,0)$\\
$\boldsymbol{b}=(-1/2,\sqrt{3}/2)$\\
$\boldsymbol{c}=(-1/2,-\sqrt{3}/2)$\\
となる。\\
このとき、$\boldsymbol{x}=(x,y)$とすると\\
1.\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x}}\\
&=&(1\cdot x+0\cdot y)+(-1/2x+\sqrt{3}/2y)+(-1/2x-\sqrt{3}/2y)\\
&=&1\cdot x-1/2x-1/2x+\sqrt{3}/2y+-\sqrt{3}/2y\\
&=0
\end{eqnarray*}
となり、なりたつ。\\
2.\\
$l$は$\boldsymbol{x}$の大きさなので$l^2=x^2+y^2$\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})^2+(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{x})^2+(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{x})^2}\\
&=&(1\cdot x+0\cdot y)^2+(-1/2x+\sqrt{3}/2y)^2+(-1/2x-\sqrt{3}/2y)^2\\
&=&x^2+\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{\sqrt{3}}{2}xy+\dfrac{3}{4}y^2+\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}xy+\dfrac{3}{4}y^2\\
&=&x^2(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4})+y^2(\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4})\\
&=&x^2\dfrac{3}{2}+y^2\dfrac{3}{2}\\
&=&\dfrac{3}{2}(x^2+y^2)\\
&=&\dfrac{3}{2}l^2\\
\end{eqnarray*}
以上より、
$$\dfrac{3}{2}l^2$$
\end{document}

