%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$y=f(x)=ax^2+bx+c$ において，$f(0)>0$ とし，この関数のグラフは点 $(1,1)$ および $(3,5)$ を通るものとする．このとき $f(x)$ の最小値を最大にするような $a$，$b$，$c$ の値を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(0)>0$より、$f(0)=c>0$\\
$(1,1)$と$(3,5)$ を通るので\\
$f(1)=1$かつ$f(3)=5$\\
$f(1)=a+b+c=1$\\
$f(3)=9a+3b+c=5$\\
もし$a=0$であった場合\\
$f(x)=bx+c$となり、$f(x)$は最小値がない\\
また、$a<0$の場合も、$f(x)$には最小値が存在しない。\\
したがって、$f(x)$の最小値が存在するためには、$a>0$でなれればならない。\\
そこで、$a>0$で考える。\\
このとき、$f(x)$は、$f'(x)=0$の点で最小値をとる。\\
$f'(x)=2ax+b$なので\\
$2ax+b=0$として、$x=-b/2a$\\
このときの最小値は$f(-b/2a)=a(-b/2a)^2+b(-b/2a)+c=b^2/4a-b^2/2a+c=-b^2/4a+c$\\
この値を最大とするものを考える。\\
前述のとおり、
$a+b+c=1$\\
$9a+3b+c=5$\\
より、$a=1-b-c$\\
これを$9a+3b+c=5$に代入すると$9(1-b-c)+3b+c=5$\\
よって$9-9b-9c+3b+c-5=0$\\
$4-6b-8c=0$\\
$4-6b=8c$\\
$c=(2-3b)/4$\\
よって、$a=1-b-(2-3b)/4=(4-4b-2+3b)/4=(2-b)/4$
これらを$-b^2/4a+c$に代入すると\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{-b^2/4((2-b)/4)+(2-3b)/4}\\
&=&-b^2/(2-b)+(2-3b)/4\\
&=&(1/4(2-b))(-4b^2+(2-b)(2-3b))\\
&=&(1/4(2-b))(-4b^2+4-8b+3b^2)\\
&=&(1/4(b-2))(b^2+8b-4)\\
&=&\dfrac{b^2+8b-4}{4(b-2)}
\end{eqnarray*}
最小値が最大となるのは、$f(-b/2a)$が最大となるときであるが\\
$c=(2-3b)/4>0$より$2/3>b$\\
また、$a=(2-b)/4>0$より$2>b$\\
よって$b<\dfrac{2}{3}$\\
$g(b)=\dfrac{b^2+8b-4}{4(b-2)}$とおくと、\\
$$g'(b)=\dfrac{(b-6)(b+2)}{4(b-2)^{2}}$$
となり、
$g'(b)$の分母はつねに正なので、正負は、分子の正負によってきまる。\\
分子は、$b<6$,$b<-2$において正、$-2<b<6$において負\\
いま、$b<\dfrac{2}{3}$なので、\\
$b<-2$において、正、$-2<b<2/3$において負となるから\\
$g(b)$は、$b<-2$の範囲で単調増加、$-2<b<2/3$の範囲で単調減少となり、\\
$b=-2$において最大値をとる。\\
その値は、$g(-2)=1$\\
このとき、
$c=(2-3b)/4$より$c=(2-3(-2))/4=2$\\
$a=(2-b)/4=(2-(-2))/4=1$\\
以上より$f(x)$の最小値を最大とするのは\\
$$(a,b,c)=(1,-2,2)$$
\end{document}

