%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
放物線 $y=ax^2-4$ ($a>0$) と直線 $y=5$ とで囲まれた部分の面積を $S$ とし，その部分を $y$ 軸のまわりに一回転してできる回転体の体積を $V$ とする．\\
$S$，$V$ の値を求め，$S$ と $V$ の間の $a$ を含まない関係式を導け．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$x,y$を入れ換えて\\
$x=ay^2-4$と$x=5$によって囲まれた面積を$S$および、それを$x$軸の周りに回転した体積を$V$としても変わらない。\\
このとき、$a>0$なので、$x>-4$\\
このとき$x=ay^x-4$は、$x$軸に対して対象な図形なので、面積は$y>0$の範囲の面積の２倍\\
したがって、$y=\sqrt{x+4}/a$としたときの$-4<x<5$の範囲で$x$軸と囲む部分の面積の２倍となる。\\
この面積は
\begin{eqnarray*}
S=2\dint_{-4}^{5} y\;dx&=&\dint_{-4}^{5} \dfrac{\sqrt{x+4}}{a}\;dx\\
&=&2\left[\dfrac{2(\sqrt{x+4})^3}{3a}\right]_{-4}^5\\
&=&2\dfrac{2(\sqrt{5+4})^3}{3a}-\dfrac{2(\sqrt{-4+4})^3}{3a}\\
&=&\dfrac{36}{a}
\end{eqnarray*}
また、体積も同様に、$y>0$の部分を１回転したものと一致するので
\begin{eqnarray*}
V=\dint_{-4}^{5} \pi y^2\;dx
&=&\dint_{-4}^{5} \pi \left(\dfrac{\sqrt{x+4}}{a}\right)^2\;dx\\
&=&\dint_{-4}^{5} \pi \dfrac{x+4}{a^2}\;dx\\
&=&\left[\pi \dfrac{x^2+8x}{2a^2}\right]_{-4}^5\\
&=&\pi\left(\dfrac{5^2+8*5}{2a^2}-\dfrac{(-4)^2+8(-4)}{2a^2}\right)=\pi\dfrac{81}{2a^2}
\end{eqnarray*}
$S=\dfrac{36}{a}$より\\
$a=\dfrac{36}{S}$となり
$$V=\pi\dfrac{81}{2a^2}=\pi\dfrac{81}{2(36/S)^2}=\pi\dfrac{S^2}{32}$$
\end{document}

