%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
$p$，$q$，$r$ は実数とする．3次方程式 $x^3+px^2+qx+r=0$ において，一根が 1 で，他の二根はその絶対値がいずれも 1 であるための必要十分条件を求めよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
１根が１なので、$x^3+px^2+qx+r=0$に$x=1$を代入してもこの式は成立する。
したがって
\begin{equation}
1+p+q+r=0
\label{eq.1}
\end{equation}
残りの２根を$a,b$とすると\\
この式は
\begin{equation}
(x-1)(x-a)(x-b)=0
\end{equation}
と因数分解される。\\
この式を展開すると
\begin{equation}
x^{3}-bx^{2}-ax^{2}-x^{2}+abx+bx+ax-ab
\end{equation}
となるので、各次数の係数をまとめると
２次の係数が$-(b+a+1)$\\
１次の係数が$ab+a+b$\\
定数項が$-ab$\\
となる\\
これらが$p,q,r$に一致するので
また(\ref{eq.1})から$r=-(p+q+1)$なので
\begin{eqnarray*}
p&=&-(b+a+1)\\
q&=&ab+a+b\\
p+q+1&=&ab
\end{eqnarray*}
となる。\\
\\
そこで$a,b$について解くと
\begin{equation}
a+b=-(p+1)
\label{eq.2}
\end{equation}
\begin{equation}
ab=p+q+1
\label{eq.3}
\end{equation}
(\ref{eq.2})から
\begin{equation}
b=-(a+p+1)
\label{eq.4}
\end{equation}
(\ref{eq.4})を(\ref{eq.3})に代入して
\begin{equation}
-a(a+p+1)=p+q+1
\end{equation}

整理すると
\begin{equation}
a^2+pa+a+p+q+1=0
\end{equation}
$a$について解くと
\begin{equation}
\left[ a=-\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1}{2},\linebreak[0]a
 =\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1}{2} \right]
\end{equation}
$a$ を(\ref{eq.4})に代入して
\begin{equation}
\left[ b=\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1}{2},\linebreak[0]b
 =-\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1}{2} \right]
\end{equation}
$a,b$は対等なので$a$と$b$はこの二つの解のそれぞれになる。\\
この平方根の中の正負で分けて考える。\\
平方根の中が負の場合\\
$p,q$は実数なのでこの解が複素数になる\\
また、複素数になるのは、この値が負の場合に限る。\\
その場合、実部は$-(p+1)/2$、虚部は$\pm(\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3})/2$となるので
$a,b$は互いに共役となる。\\
またこの絶対値は
\begin{eqnarray*}
& &\sqrt{\left(\sqrt(-4q+p^2-2p-3)/2\right)^2+((p+1)/2)^2}\\
&=& \sqrt{(4q-p^2+2p+3+p^2+2p+1)/4}\\
&=& \sqrt{(4p+4q+4)/4}\\
&=& \sqrt{p+q+1}\\
\end{eqnarray*}
($-4q+p^{2}-2p-3<0$より$\left(\sqrt{(-4q+p^2-2p-3)}\right)^2=4q-p^2+2p+3$)\\
この値が１である必要があるから
\begin{eqnarray*}
\sqrt{p+q+1}&=&1\\
p+q+1&=&1\\
p+q&=&0\\
p&=&-q
\end{eqnarray*}
$-4q+p^{2}-2p-3=4p+p^2-2p-3=p^2+2p-3=(p-1)(p+3)$\\
この値が負であることが条件なので、$-3<p<1$\\
\\
平方根の中が正の場合\\
$a,b$ともに正とはならないので一方が１他方が-1となる。\\
\begin{equation}
\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1}{2}= 1
\end{equation}
の場合を考えると\\
\begin{eqnarray*}
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1&=&2\\
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}&=&p+3\\
\end{eqnarray*}
$p+3>0$が必要\\
$p>-3$と仮定して
\begin{eqnarray*}
-4q+p^{2}-2p-3&=&(p+3)^2\\
-4q+p^{2}-2p-3&=&p^2+6p+9\\
-4q-8p-12&=&0\\
-q-2p-3&=&0\\
q+2p&=&3\\
p&=&(3-q)/2
\end{eqnarray*}
このとき
$$ -\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1}{2}=-1$$
なので\\
\begin{eqnarray*}
-\frac{\sqrt{-4q+p^2-2p-3}+p+1}{2}&=&-1\\
\sqrt{-4q+p^2-2p-3}+p+1&=&2\\
\sqrt{-4q+p^2-2p-3}&=&1-p\\
-4q+p^2-2p-3&=&(1-p)^2\\
-4q+p^2-2p-3&=&p^2-2p+1\\
-4q-4&=&0\\
q&=&1\\
\end{eqnarray*}
よって\\
$p=(3-q)/2=(3-1)/2=1$\\
よって$r=-1-p-q=-1$\\
$$(p,q,r)=(1,1,-1)$$
しかし、$-4p+p^2-2p-3=-4+1-2-3=-8$となり、平方根の内部が正であることに反する。\\
よって、この値は不可\\
\\
\begin{equation}
\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1}{2}= -1
\end{equation}
の場合を考えると
\begin{eqnarray*}
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}-p-1&=&-2\\
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}&=&p-1\\
-4q+p^{2}-2p-3&=&p^2-2p+1\\
-4q&=&4\\
q&=&-1
\end{eqnarray*}
このとき
$$-\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1}{2}=1$$
なので
\begin{eqnarray*}
-\frac{\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1}{2}&=&1\\
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}+p+1&=&-2\\
\sqrt{-4q+p^{2}-2p-3}&=&-p-3\\
\end{eqnarray*}
$-p-3>0$より$p<-3$\\
\begin{eqnarray*}
-4q+p^{2}-2p-3&=&p^2+6p+9\\
-4q+8p&=&12\\
-q+2p&=&3\\
p&=&(3+q)/2
\end{eqnarray*}
よって$p=(3+(-1))/2=1$\\
しかしこれは、$p<-3$に反するので不可\\
\\
平方根の中が0の場合\\
$-(p+1)/2=\pm 1$,$-4q+p^{2}-2p-3=0$となるので\\
$-(p+1)/2= 1$の場合\\
$p= -3$
$-4q+9+6-3=0$\\
$-4q=-12$\\
$q=3$\\
$r=-1-q-p=-1$\\
\\
$-(p+1)/2= -1$の場合\\
$p=1$\\
$-4q+1-2-3=0$\\
$-4q=4$\\
$q=-1$\\
$r=-1-p-q=-1$\\
\\
どちらの場合も$p+q=1$なので、平方根の中が負の場合の条件で$p=1,-3$とした場合とおなじ。\\
\\
以上より、絶対値が１であるための十分条件は$p+q=0,r=-1,-3 \leqq p \leqq 1$となる。\\
\\
また、$p+q=0,r=1,-3 \leqq p \leqq 1$の場合、\\
方程式$x^3+px^2+qx+r=0$は$x^3+px^2-px-1=0$となる。\\
これを因数分解すると$(x-1)(x^2+(p+1)x+1)=0$となる。\\
この方程式の解は1と
\begin{equation*}
x=\dfrac{p+1 \pm \sqrt{(p-1)(p+3)}}{2}
\end{equation*}
となり、この絶対値は\\
$\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2+ \left(\dfrac{\sqrt{(p-1)(p+3)}}{2}\right)^2$となるが、\\
$-3 \leqq p \leqq 1$なので、$(p-1)(p+3)<0$\\
したがって、\\
$$(\sqrt{(p-1)(p+3)})^2=-(p-1)(p+3)$$
これをもとに計算すると\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\left(\dfrac{p+1}{2}\right)^2+ \left(\dfrac{\sqrt{(p-1)(p+3)}}{2}\right)^2}\\
&=&\dfrac{p^2+2p+1-p^2-2p+3}{4}\\
&=&\dfrac{4}{4}\\
&=&1
\end{eqnarray*}
となり、絶対値は常に１\\
よって、条件は必要十分である。\\
\end{document}
