%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
正三角形ABCがある．点Oを直線ABに関してCと反対側にとって $\angle\text{AOB}=60^{\circ}$ となるようにし，
ベクトル $\Vec{\text{OA}}$，$\Vec{\text{OB}}$，$\Vec{\text{OC}}$ をそれぞれ $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$ で表す．\\
このとき
\[
\boldsymbol{c}=\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}+\dfrac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{b}|}\boldsymbol{b}
\]
であることを証明せよ．\\
ただし，$|\boldsymbol{a}|$，$|\boldsymbol{b}|$ はそれぞれ $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ の大きさを示す．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$a=|\boldsymbol{a}|,b=|\boldsymbol{b}|$とおく\\
$\boldsymbol{a}_e=\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|},\boldsymbol{b}_e=\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$とすると\\
これらはベクトルをその大きさで割っているので単位ベクトル\\
つまり長さは１\\
よって、
点Oを始点として、$\boldsymbol{a}_e$,$\boldsymbol{b}_e$をとると、これは頂点の角度が$60^\circ$の二等辺三角形となり、正三角形である。\\
$\Vec{\text{AB}}$を考えると、\\
これは$\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$である\\
この大きさは 余弦定理より\\
$\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ}=\sqrt{a^2+b^2-ab}$\\
よって、三角形ABCは１辺$\sqrt{a^2+b^2-ab}$の正三角形\\
点Oからみて、Aが右側であるとしても一般性は失われないので
$\Vec{\text{AC}}$は、$\Vec{\text{AB}}$を右に$60^\circ$回転させたもの\\
つまり、ベクトル
\begin{equation*}
\Vec{\text{AC}}=
\begin{pmatrix}
\cos -60^\circ &-\sin -60^\circ\\
\sin -60^\circ &\cos -60^\circ\\
\end{pmatrix}
\Vec{\text{AB}}
=
\begin{pmatrix}
1/2 &\sqrt{3}/2\\
-\sqrt{3}/2 &1/2\\
\end{pmatrix}
\Vec{\text{AB}}
\end{equation*}
今、原点をO,Aが$x$軸上にあるような座標系をとると\\
$\boldsymbol{a}=(a,0)$
$\boldsymbol{b}=(b/2,b\sqrt{3}/2)$
となるので、\\
$\Vec{\text{AB}}=(b/2-a,b\sqrt{3}/2)$\\
したがって、\\
\begin{eqnarray*}
\Vec{\text{AC}}&=&
\begin{pmatrix}
1/2 &\sqrt{3}/2\\
-\sqrt{3}/2 &1/2\\
\end{pmatrix}
\Vec{\text{AB}}\\
&=&
\begin{pmatrix}
1/2 &\sqrt{3}/2\\
-\sqrt{3}/2 &1/2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
b/2-a\\
b\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
(b/2-a)(1/2)+(b\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2)\\
(b/2-a)(-\sqrt{3}/2)+(b\sqrt{3}/2)(1/2)
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
b/4-2a/4+3b/4\\
-b\sqrt{3}/4+a\sqrt{3}/2+b\sqrt{3}/4
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
b-a/2\\
a\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
$$\boldsymbol{c}=\Vec{\text{OC}}=\boldsymbol{a}+\Vec{\text{AC}}$$
より
\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{c}=\Vec{\text{OC}}=
\begin{pmatrix}
a\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
b-a/2\\
a\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b+a/2\\
a\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}+\dfrac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{b}|}\boldsymbol{b}}\\
&=&\dfrac{b}{a}
\begin{pmatrix}
a\\
0
\end{pmatrix}
+
\dfrac{b}{a}
\begin{pmatrix}
b/2\\
b\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
b\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
a/2\\
a\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
b+a/2\\
a\sqrt{3}/2
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
以上より、
$$\boldsymbol{c}=\dfrac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|}\boldsymbol{a}+\dfrac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{b}|}\boldsymbol{b}$$
\end{document}

