%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\[
 \dlim_{n\to\infty}n\Bigl[\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-n)^3}{n}-\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-(n+1))^3}{n+1}\Bigr]
\]
を求めよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(n)=n\Bigl[\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-n)^3}{n}-\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-(n+1))^3}{n+1}\Bigr]$とする。\\
$n+1>n>0$は自明なので、
$a=\sqrt{n}$\\
$b=\sqrt{n+1}$\\
とおいても$a^2=n,b^2=n+1$として式変形に制限はない。\\
よって、
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f(n)=n\Bigl[\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-n)^3}{n}-\dfrac{(\sqrt{n(n+1)}-(n+1))^3}{n+1}\Bigr]}\\
&=&a^2\Bigl[\dfrac{(\sqrt{a^2b^2}-a^2)^3}{a^2}-\dfrac{(\sqrt{a^2b^2}-(b^2))^3}{b^2}\Bigr]\\
&=&a^2\Bigl[\dfrac{(ab-a^2)^3}{a^2}-\dfrac{(ab-b^2)^3}{b^2}\Bigr]\\
&=&a^2\Bigl[\dfrac{(a(b-a))^3}{a^2}-\dfrac{(b(a-b))^3}{b^2}\Bigr]\\
&=&a^2\Bigl[\dfrac{a^3(b-a)^3}{a^2}-\dfrac{b^3(a-b)^3}{b^2}\Bigr] \\
&=&a^2\Bigl[\dfrac{a^3(b^3-ab^2+a^2b-a^3)}{a^2}-\dfrac{b^3(a^3-a^2b+ab^2-b^3)}{b^2}\Bigr] \\
&=&a^2(a(b^3-3ab^2+3a^2b-a^3)-b(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)) \\
&=&a^2(b-a)^3(b+a)\\
&=&a^2(b-a)^2(b-a)(b+a)\\
&=&a^2(b-a)^2(b^2-a^2)\\
&=&a^2(b-a)^2\\
&=&(ab-a^2)^2
\end{eqnarray*}
ここで
ここで$(g(n))^2=f(n)$とおくと
\begin{eqnarray*}
g(n)&=&a(b-a)\\
&=&\dfrac{a(b-a)(b+a)}{b+a}\\
&=&\dfrac{a(b^2-a^2)}{b+a}\\
&=&\dfrac{a}{b+a}
\end{eqnarray*}
次に$h(n)$を$h(n)=\dfrac{1}{g(n)}$とおいて
\begin{eqnarray*}
h(n)&=&\dfrac{b+a}{a}\\
&=&\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{a}\\
&=&\dfrac{b}{a}+1
\end{eqnarray*}
$a,b$を$n$に戻すと\\
\begin{eqnarray*}
h(n)=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}+1
\end{eqnarray*}
ここで、$h(n)$は$n \to \infty$において収束し以下のようになる。
\begin{eqnarray*}
\dlim_{n \to \infty} h(n)&=&\dlim_{n \to \infty} \sqrt{\dfrac{n+1}{n}}+1\\
&=&2
\end{eqnarray*}
$h(n)$が収束するので$\dfrac{1}{h(n)}$も収束し
\begin{eqnarray*}
\dlim_{n \to \infty} g(n)&=&\dlim_{n \to \infty} \dfrac{1}{h(n)}\\
&=&\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
よって、$g(n)$は収束するので、$f(n)$も収束し
\begin{eqnarray*}
\dlim_{n \to \infty} f(n)&=&\dlim_{n \to \infty} g^2(n)\\
&=&\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
となる。\\
以上より\\
求めるべき極限は、
$\dfrac{1}{4}$
\end{document}

