%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$n$ は自然数とし
\[
 f(x)=1+\frac{x^2}{1\cdot 2}+\frac{x^3}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}
\]
とする．\\
このとき，$-1\leqq x\leqq 1$ において
\[
 1\leqq f(x)<2
\]
であることを証明せよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)$を2階微分すると\\
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}\\
f''(x)&=&1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}\\
(1-x)f''(x)&=&1-x^n\\
\end{eqnarray*}
$-1 \leqq x \leqq 1$より\\
$(1-x) \geqq 0$,$(1-x) \geqq 0$\\
よって、$f''(x) \geqq 0$\\
したがって、$f'(x)$は単調増加\\
$f'(0)=0$より$f'(x)$は$x<0$で$f'(x) \leqq 0$、$x>0$で$f'(x)\geqq 0$ \\
したがって、\\
$f(x)$は$x<0$で単調減少,$x>0$で単調増加\\
以上より
$f(x)$は、$x=0$で最小値をとり、$x=1$または$x=-1$で最大値をとる。\\
$f(0)=1$より、$f(x)\geqq 1$\\
\begin{eqnarray*}
f(1)&=&1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\\
f(-1)&=&1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{-1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}\\
\end{eqnarray*}
$f(1)$の各項は正、$f(-1)$の一部の項は負なので、$f(1)>f(-1)$\\
よって、最大値は、$f(1)$\\
\begin{eqnarray*}
f(1)&=&1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\\
&=&1+
\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+
\cdots
+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\
&=&1+\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\
&=&2-\frac{1}{n+1}\\
\end{eqnarray*}
$n+1>0$より、$f(1)<2$\\
以上より、\\
$1 \leqq f(x) < 2$
\end{document}

