%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1973年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
当たりくじが確率 $p$（$0<p<1$）で現れるくじがあり，たかだか二回引くことができる．\\
各自，最初に得点 1 をもってこのくじを引き，当たりくじならば得点 1 を加え，そうでなければ 1 だけ減ずる．\\
くじを引き終えたときの合計得点が負または 0 ならば受け取る報酬は 0，\\
正ならばその得点がそのまま報酬になるものとする．\\
このとき，A君は一度もくじを引かないことに決め，B君は一度くじを引き，当たればそこで止め，当たらなければもう一度引くことに決め，C君は当たる当たらないにかかわらず二回引くことに決めた．\\
A，B，C三君の報酬の期待値を比較し，誰が一番有利であるかを判定せよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
まず、A君は、くじを引かないので、常に結果は１\\
したがって、期待値は１\\
次にB君は、１回目に当たる確率は$p$、そのときはもう引かないので、報酬は2\\
当たらない確率は$1-p$そのときははもう一度引くので、２回目に当たる確率は$(1-p)p$でこのときの報酬は1、\\
２回目に当たらない確率は$(1-p)^2$で報酬は0\\
したがって期待値は$p*2+p(1-p)\cdot 1+(1-p)^2\cdot 0=2p+p(1-p)=3p-p^2$\\
\\
C君は必ず２回引くので
１回目と２回目の結果をそれぞれ表にすると、確率と報酬を$(p,v)$で表すとすると\\

\begin{tabular}
{|c|c|c|c|}
\multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{2}{c}{１回}\\
\multicolumn{2}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{当たり} &\multicolumn{1}{c}{はずれ}\\
\cline{3-4}
\multicolumn{1}{c}{２} & 当たり& $(p^2,3)$ & $((1-p)p,1)$\\
\cline{3-4}
\multicolumn{1}{c}{回} & はずれ& $(p(1-p),1)$ & $((1-p)^2,0)$\\
\cline{3-4}
\end{tabular}
\\
よって、期待値は$p^2 \cdot 3+(1-p)p \cdot 1 + p(1-p) \cdot 1 + (1-p)^2 \cdot 0=p^2+2p$\\
A,B,C君のそれぞれの期待値を$E_A,E_B,E_C$とすると\\
$E_A=1,E_B=p(3-p),E_C=p(p+2)$\\
$E_C-E_B=p(p+2)-p(3-p)=p^2+2p-3p+p^2=2p^2-p=p(2p-1)$\\
$0<p<1$なので
$2p-1$の正負で、この値の正負が決まる。\\
つまり、$2p-1>0 \to p>1/2$のとき、$E_C>E_B$\\
逆に$p<1/2$のとき、$E_C<E_B$\\
次に$E_B-1=p(3-p)-1=3p-p^2-1=0$として$p$を解くと\\
$\dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
$\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}>1$なので、$0<p<1$の範囲で考えると、$p=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$で０となる。その前後で負から正に変わるので、
$p<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$の範囲では、$E_B<E_A$\\
$p>\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$の範囲では、$E_B>E_A$\\
次に$E_C-1=p(p+2)-1=p^2+2-1=0$として$p$を解くと\\
$p=-1 \pm \sqrt{2}$\\
$0<p<1$の範囲では、$p=-1+\sqrt{2}$で０となる。\\
この前後で、値は負から正に変わるので、\\
$p<-1+\sqrt{2}$で$E_C<E_A$\\
$p>-1+\sqrt{2}$で$E_C>E_A$\\
$0<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<-1+\sqrt{2}<1/2<1$より\\

$p<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$の場合\\
$$E_C<E_B<E_A$$
よってA君が最も有利\\
$\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}<p<-1+\sqrt{2}$の場合\\
$$E_C<E_A<E_B$$
よってB君が最も有利\\
$-1+\sqrt{2}<p<1/2$の場合\\
$$E_A<E_C<E_B$$
よってB君が最も有利\\
$1/2<p$の場合\\
$$E_A<E_B<E_C$$
よってC君が最も有利\\

\end{document}

