%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
二次関数 $y=ax^2+bx+c$ ($a$，$b$，$c$ は実数，$a\neq 0$) のグラフが三点 $(1,3)$，$(2,6)$，$(-1,9)$ を通るという．この関数 $y$ の値が最小になるのは，$x$ がどの値のときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$y=ax^2+bx+c$\\
$(1,3)$，$(2,6)$，$(-1,9)$\\
\begin{eqnarray}
a+b+c&=&3 \label{e1}\\
4a+2b+c&=&6 \label{e2}\\
a-b+c&=&9 \label{e3}
\end{eqnarray}
(\ref{e2})-(\ref{e1})
\begin{eqnarray*}
3a+b&=&3
\end{eqnarray*}
(\ref{e3})-(\ref{e1})
\begin{eqnarray*}
-2b&=&6
\end{eqnarray*}
$b=-3$\\
\begin{eqnarray*}
3a-3&=&3\\
a&=&2\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
2-3+c&=&3\\
c&=&4\\
\end{eqnarray*}
$(a,b,c)=(2,-3,4)$\\
$y=f(x)=2x^2-3x+4$\\
$f'(x)=4x-3$\\
$f'(x)=0$を解くと\\
$x=\dfrac{3}{4}$\\
$f(\dfrac{3}{4})=\dfrac{23}{8}$\\
$f(x)$は、２次の係数が正なので、下に凸。\\
したがって、最小値は、$x=\dfrac{3}{4}$のとき
\end{document}

