%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　正の定数 $a$，$b$ に対し，不等式
\[
 4m<n^2<4m+\frac{a}{\sqrt{m}}+\frac{b}{m}
\]
を考え，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
 \item　$m>0$，かつ $m$，$n$ ともに整数であって，この不等式をみたすよう
      な $m$，$n$ の組は有限個しか存在しないことを証明せよ．
 \item　$a=8$，$b=9$，$m\geqq 9$ であるときは，上の不等式をみたす整数 
      $m$，$n$ の組は $n^2=4m+1$ をみたすことを証明せよ．
 \item　(2)の場合の $m$，$n$ の組のうち，$n$ が最も大きいものを求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
任意の$a,b$について\\
$\frac{a}{\sqrt{m}}+\frac{b}{m}<1$\\
となる$m$をとることができる。\\
具体的には\\
$m>0$より\\
$a\sqrt{m}+b<m$\\
$a\sqrt{m}+b-m<0$\\
\ \\
$f(m)=a\sqrt{m}+b-m$としたとき、\\
$f'(m)=\dfrac{a}{2\sqrt{m}}-1$\\
$f'(m)=0$となるのは\\
$\dfrac{a}{2\sqrt{m}}-1=0$\\
$\dfrac{a}{2\sqrt{m}}=1$\\
$\dfrac{a}{2}=\sqrt{m}$\\
$m=\dfrac{a^2}{4}$のとき\\
\\
$f'(m)$は単調減少なので、\\
$m>\dfrac{a^2}{4}$において、
$f'(m)<f'(\dfrac{a^2}{4})=0$\\
\\
よって、$f(m)$は$m>\dfrac{a^2}{4}$で単調減少\\
$f(m)=0$を解くと\\
$\sqrt{m}=\dfrac{a\pm\sqrt{4b+a^2}}{2}$\\
$a>0,b>0$より、\\
$\sqrt{m}=\dfrac{a+\sqrt{4b+a^2}}{2}$\\
$m=\left(\dfrac{a+\sqrt{4b+a^2}}{2}\right)^2=\dfrac{a^2}{2}+b+\dfrac{a\sqrt{4b+a^2}}{2}$\\
$\dfrac{a^2}{2}+b+\dfrac{a\sqrt{4b+a^2}}{2}>\dfrac{a^2}{4}$はあきらかなので\\
$m>\dfrac{a^2}{2}+b+\dfrac{a\sqrt{4b+a^2}}{2}$の範囲では、\\
$f(m)$は単調減少なので\\
$f(m)<f(\dfrac{a^2}{2}+b+\dfrac{a\sqrt{4b+a^2}}{2})=0$より\\
よって、$f(m)<0$\\
したがってこの範囲で\\
$\frac{a}{\sqrt{m}}+\frac{b}{m}<1$となる。\\
つまり、不等式は$4m < n^2 < 4m+1$となるが、この間に整数は無い。\\
よって、これを満たす$n$は存在しない\\
つまり、任意の正数$a,b$について、十分大きな数$m$が存在し、不等式を成立させないことができる。\\
したがって、この不等式を満たす可能性のある$m$は有限しか無い。\\
そのそれぞれの$m$について、
$\frac{a}{\sqrt{m}}+\frac{b}{m}$は有限の値で決まるので\\
$4m < n^2 < 4m+\frac{a}{\sqrt{m}}+\frac{b}{m}$となる$n$は存在するとしても有限。\\
よって、$(n,m)$の組は有限個しかない。\\
\ \\
1.\\
$a=8$，$b=9$，$m\geqq 9$ 
より、\\
$ 4m<n^2<4m+\frac{8}{\sqrt{m}}+\frac{9}{m}$を満たす$m,n$を考える。\\
$m \geqq 9$より\\
$\dfrac{9}{m} \leqq1$\\
$\dfrac{8}{\sqrt{m}} \leqq \frac{8}{3}<3$\\
したがって、\\
この式を満たす$n,m$の組は、最低限\\
$4m<n^2<4m+4$を満たす。\\
つまり、$n^2=4m+1,4m+2,4m+3$のいずれかになる\\
\ \\
$n^2$が偶数と仮定すると\\
$n^2=4m+2$しかなくて、\\
$4m+2=2(2m+1)$となり、$n^2$は偶数、$n^2$が偶数ならば、$n$も偶数でなければならない。\\
よって、$n=2l$とおくと、\\
$n^2=4l^2=2(2m+1)$\\
よって、$2l^2=2m+1$となるが、左辺は偶数で右辺は奇数、したがってこの式はあり得ない。\\
よって、$n^2$は奇数。\\
\\
$n^2$は奇数なので\\
$n$も奇数\\
これを、$2p+1$とおくと
$n^2=(2p+1)^2=4p^2+4p+1=4(p^2+p)+1$\\
したがって、$n^2$は４で割ると１余る。\\
よって、$n^2$は、$4m+1$しかあり得ない。\\
したがってこの式を満たす、$m,n$の組は、$n^2=4m+1$となる。\\
\\
3.\\
$\dfrac{8}{\sqrt{m}}+\dfrac{9}{m}>1$であることが必要\\
1.より\\
$\dfrac{8^2}{2}+9+\dfrac{8\sqrt{4*9+8^2}}{2}=81$から\\
$m>81$の範囲では、$n$は存在しないので、$m \leqq 81$\\
また、$n^2=(2p+1)^2=4p(p+1)+1=4m+1$より\\
$m=p(p+1)$の形なので、$81$以下でこの形になる最大の数は、$8*9=72$\\
以上より、
$$m=72,n=17$$
\end{document}

