%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\newcommand{\souji}{\ensuremath{\raisebox{-.4ex}{\large ∽}}}%
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　$\triangle\text{O}\text{P}_0\text{P}_1$ が与えられている．\\
辺$\text{P}_0\text{O}$ 上に点 $\text{P}_2$，$\text{P}_4$，$\cdots$,$\text{P}_{2n}$，$\cdots$ を，
また辺 $\text{P}_1\text{O}$ 上に点 $\text{P}_3$，$\text{P}_5$，$\cdots$，$\text{P}_{2n+1}$，$\cdots$ を
適当にとって，次の三条件（イ）〜（ハ）がみたされるようにしうるための，
$\triangle\text{O}\text{P}_0\text{P}_1$についての条件を求めよ．\\
\begin{enumerate}
 \item[（イ）]　$\text{P}_0$，$\text{P}_2$，$\text{P}_4$，$\cdots$,$\text{P}_{2n}$,$\cdots$ はこの順に線分 $\text{P}_0\text{O}$ 上にならび，しかも $n$ が大きくなるに従って，O に近づく．
 \item[（ロ）]　$\text{P}_1$，$\text{P}_3$，$\text{P}_5$，$\cdots$，$\text{P}_{2n+1}$，$\cdots$ はこの順に線分 $\text{P}_1\text{O}$ 上にならんでいる．
 \item [（ハ）]　$\triangle\text{P}_{n-1}\text{P}_n\text{P}_{n+1}\souji\triangle\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}\text{P}_{n+2}$ が，$n$ のどの自然数値に対しても成立する．\\
（ここでいう相似は，左辺の三角形の $\text{P}_{n-1}$，$\text{P}_n$，$\text{P}_{n+1}$ が右辺の三角形の $\text{P}_{n}$，$\text{P}_{n+1}$，$\text{P}_{n+2}$ に順次対応した相似を意味する．）
\end{enumerate}
 \item　上のように点がとれたとき，$\triangle\text{P}_{n-1}\text{P}_n\text{P}_{n+1}$ の面積を第 $n$項 ($n=1,\;2,\;\cdots$) とする数列は
\begin{enumerate}
 \item[（イ）]　いつでも等比数列である
 \item[（ロ）]　等比数列になる場合もあり，等比数列にならない場合もある
 \item[（ハ）]　けっして等比数列にならない
\end{enumerate}
のどれが正しいか，理由を付して答えよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$\text{P}_1$，$\text{P}_3$，$\text{P}_5$はこの順に線分$\text{P}_1\text{O}$上に並んでいるが$n$が大きくなるにしたがってOに近付くとは決まっていない。\\
しかし、$n$が大きくなるにしたがって、Oに近付かないとすると、\\
可能性は$\text{P}_3$以降が、$\text{P}_1$からみて、Oと反対側に並ぶか、\\
$\text{P}_1,\text{P}_3,\cdots$がすべて、$\text{P}_1$に一致するか\\
ある$k<n$において、$O$を越えてすすむか\\
のいずれかであるが、\\
Oと反対側に並ぶ場合、と$k<n$において、$O$を越えてしまう場合は、\\
線分$\text{P}_1\text{O}$上であるという指定に反するので、すべて一致するしかない。\\
しかしその場合、$\angle\text{P}_{2n}\text{P}_{2n+1}\text{P}_{2n+1}$がすべて０となってしまい、相似であることから
$\angle\text{P}_{2n+1}\text{P}_{2n+2}\text{P}_{2n+3}$もすべて0となり、\\
$\text{P}_2,\text{P}_4,\cdots$がすべて、$\text{P}_0$に一致してしまう。\\
しかし、これは条件(イ)の大きくなるにしたがってOに近付くということに反するため、\\
$\text{P}_1$，$\text{P}_3$，$\text{P}_5$，$\cdots$,$\text{P}_{2n+1}$,$\cdots$ はこの順に線分 $\text{P}_1\text{O}$ 上にならび，しかも $n$ が大きくなるに従って，O に近づく．\\
したがって、下の図のようになる。\\
\includegraphics[width=10cm,clip]{1974l_6.eps}\\
\\
$n=1$のとき、\\
$\triangle\text{P}_{n-1}\text{P}_n\text{P}_{n+1}\souji\triangle\text{P}_{n}\text{P}_{n+1}\text{P}_{n+2}$より\\
$\triangle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_{2}\souji\triangle\text{P}_{1}\text{P}_{2}\text{P}_{3}$\\
これが成立するためには\\
$\angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_2 = \angle\text{P}_{1}\text{P}_2\text{P}_3$\\
$\angle\text{P}_{0}\text{P}_2\text{P}_1 = \angle\text{P}_{1}\text{P}_3\text{P}_2$\\
$\angle\text{P}_{1}\text{P}_0\text{P}_2 = \angle\text{P}_{2}\text{P}_1\text{P}_3$\\
が成立すればよいが、三角形の内角の和は一定なので、このうち二つが成立すれば必要十分。\\
相似なので\\
$\angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_2+\angle\text{P}_{1}\text{P}_0\text{P}_2 = \angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_3$\\
$\text{P}_0$と$\text{P}_2$は一致しないので、$\angle\text{P}_0\text{P}_1\text{P}_2>0$\\
$\angle\text{P}_{1}\text{P}_0\text{P}_2 <\angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_3$\\
$\angle\text{P}_{1}\text{P}_0\text{P}_2=\angle\text{P}_{1}\text{P}_0\text{O}$\\
$\angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{P}_3=\angle\text{P}_{0}\text{P}_1\text{O}$\\
より、
$\triangle\text{O}\text{P}_0\text{P}_1$について$\angle\text{P}_0<\angle\text{P1}$が必要。\\
\\
また、このとき、\\
$\angle\text{P}_2\text{P}_0\text{P}_1 \souji \triangle\text{P}_3\text{P}_1\text{P}_2$\\
$\angle\text{P}_0\text{O}\text{P}_1 \souji \triangle\text{P}_1\text{O}\text{P}_2$\\
より
$\triangle\text{O}\text{P}_0\text{P}_1 \souji \triangle\text{O}\text{P}_1\text{P}_2$\\
したがって、$\triangle\text{O}\text{P}_0\text{P}_1$の面積を$S_0$とすると\\
$S_0:S_1=\text{P}_0\text{P}_1:\text{P}_1\text{P}_2$\\
$\triangle\text{P}_0\text{P}_{1}\text{P}_{2} \souji \triangle\text{P}_{1}\text{P}_{2}\text{P}_{3}$なので\\
$\text{P}_0\text{P}_{1}:\text{P}_{1}\text{P}_{2}=\text{P}_{1}\text{P}_{2}:\text{P}_{2}\text{P}_{3}$\\
また一般の$k$についても\\
$S_{k}:S_{k+1}=\text{P}_k\text{P}_{k+1}:\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}$\\
であり、このとき
$\triangle\text{P}_k\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}$と$\triangle\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}\text{P}_{k+3}$は相似なので\\
$\text{P}_k\text{P}_{k+1}:\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}=\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}:\text{P}_{k+2}\text{P}_{k+3}$\\
数学的帰納法より任意の$k$について、$S_{k}:S_{k+1}=S_0:S_1$\\
また、$\dfrac{S_1}{S_0}=\dfrac{\text{O}\text{P}_1}{\text{O}\text{P}_0}$\\
よって、$S_{n}$は初項$S_0$、公比$\dfrac{\text{O}\text{P}_1}{\text{O}\text{P}_0}$の等比数列\\
ここで公比を$r$とおく\\
\\
$\triangle\text{P}_0\text{P}_1\text{P}_2=S_{0}-S_{1}$\\
一般に\\
$\triangle\text{P}_k\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}=S_{k}-S_{k+1}$\\
よって、\\
$\triangle\text{P}_k\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}:\triangle\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}\text{P}_{k+3}=
S_{k}-S_{k+1}:S_{k+1}-S_{k+2}$\\
$\dfrac
{\triangle\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}\text{P}_{k+3}}
{\triangle\text{P}_k\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}}
=
\dfrac
{S_{k+1}-S_{k+2}}
{S_{k}-S_{k+1}}
$\\
$S_k=r^kS_0$より
\begin{eqnarray*}
\dfrac{S_{k+1}-S_{k+2}}{S_{k}-S_{k+1}}&=&\dfrac{r^{k+1}S_0-r^{k+2}S_0}{r^kS_0-r^{k+1}S_0}\\
&=&\dfrac{r^{k+1}S_0(1-r)}{r^kS_0(1-r)}\\
&=&r\\
\end{eqnarray*}
よって、
$\dfrac{\triangle\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}\text{P}_{k+3}}{\triangle\text{P}_k\text{P}_{k+1}\text{P}_{k+2}}=r$\\
よって、任意の$k,k+1$に該当する三角形の面積の比は一定\\
したがって、三角形の面積は等比数列となる。\\
\end{document}

