%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$0\leqq\alpha<\beta<\gamma<2\pi$ であって
\setlength{\topsep}{0pt}
\[
 \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0 \text{，}\quad
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0
\]
であるという．$\beta-\alpha$ と $\gamma-\beta$ の値を求めよ．
\\
{\large 解答}\\
\\
$\sin x + \sin y = 2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$\\
$\cos x + \cos y = 2\cos \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma}\\
&=&2\cos \dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\cos\gamma=0\\
\lefteqn{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}\\
&=&2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}+\sin\gamma=0
\end{eqnarray*}
より
$\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 0$の場合\\
$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 1$\\
$\cos\gamma=0\;\to\;\gamma=\pi/2,3\pi/2$\\
よって$\sin\gamma=1$\\
$\alpha+\beta=\pi,3\pi$\\
$\cos\alpha+\cos\beta=0$,$\sin\alpha+\sin\beta=0$\\
$\cos\alpha=-\cos\beta=\cos(\pi\pm\beta)$\\
$\sin\alpha=-\sin\beta=\sin(2\pi-\beta)$\\
よって、$\alpha=\pi\pm\beta$,$\alpha=2\pi-\beta$\\
$\alpha=\pi+\beta$だと、$\alpha<\beta$に反するので、$\alpha=\pi-\beta$\\
$\alpha=2\pi-\beta$より$\pi-\beta=2\pi-\beta$でこれは矛盾\\
よって、$\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 0$は条件に合わない\\
同様に
$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 0$の場合\\
$\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} = 1$\\
$\cos\gamma=0$,$\sin\gamma=1$となり、\\
同様にして、条件に合わない。\\
したがって、$\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2} \neq 0$,$\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2} \neq 0$\\
この条件では、以下の様に変形できて\\
$\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=-\dfrac{\cos\gamma}{2\cos \dfrac{\alpha+\beta}{2}}$\\
$\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}=-\dfrac{\sin\gamma}{2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}}$\\
これより\\
$-\dfrac{\cos\gamma}{2\cos \dfrac{\alpha+\beta}{2}}=-\dfrac{\sin\gamma}{2\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}}$\\
したがって\\
$\dfrac{\sin\gamma}{\cos\gamma}=\dfrac{\sin \dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\cos \dfrac{\alpha+\beta}{2}}$\\
$\tan \gamma = \tan \dfrac{\alpha+\beta}{2}$\\
$\tan$は$\pi$を周期とする、周期関数なので、\\
$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}+n\pi$\\
しかし、$0<\gamma<2\pi$なので、$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2},\dfrac{\alpha+\beta}{2}\pm\pi$\\
同様の議論を$\alpha,\beta$に対して行うことで\\
$\alpha=\dfrac{\gamma+\beta}{2},\dfrac{\gamma+\beta}{2}\pm\pi$\\
$\beta=\dfrac{\alpha+\gamma}{2},\dfrac{\alpha+\gamma}{2}\pm\pi$\\
となる。\\
\\
ここで、\\
$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$とすると
$\gamma-\alpha=\beta-\gamma$となり、
$\gamma-\beta>0$より$\gamma-\alpha<0$つまり、$\gamma<\alpha$となって、条件に反する。\\
よって、$gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\pi$\\
\\
$\alpha=\dfrac{\gamma+\beta}{2}$とすると\\
$\alpha-\gamma=\beta-\alpha$となり、\\
$\alpha<\gamma$より、$\beta-\alpha<0$つまり$\beta<\alpha$となって、条件に反する。\\

$\beta=\dfrac{\gamma+\alpha}{2}$とすると\\
$\alpha<\beta<\gamma$となり、条件に合う。\\

$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\pi$とすると、\\
$\dfrac{\alpha+\beta}{2}<\beta$より、$\gamma<\beta$となって、条件に反する。\\
よって、$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\pi$\\
同様の議論から、\\
$\beta=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$\\
$\alpha=\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\pi$\\
となる。
$\alpha=\dfrac{\gamma+\beta}{2}-\pi$,$\gamma=\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\pi$より
\begin{eqnarray*}
\gamma&=&\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\pi\\
&=&\dfrac{\dfrac{\gamma+\beta}{2}-\pi+\beta}{2}+pi\\
&=&\dfrac{-2\pi+\gamma+3\beta}{4}+\pi\\
\end{eqnarray*}
$\gamma=\dfrac{-2\pi+\gamma+3\beta}{4}+\pi$\\
$\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}{3}$\\
また、
\begin{eqnarray*}
\beta&=&\dfrac{\gamma+\alpha}{2}\\
&=&\dfrac{\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\pi+\alpha}{2}\\
&=&\dfrac{2\pi+\beta+3\alpha}{4}\\
\end{eqnarray*}
$\beta=\dfrac{2\pi+\beta+3\alpha}{4}$\\
$\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$\\
以上より、
$$\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}{3},\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$$
\end{document}

