%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
内部の形が半径 $10\text{cm}$ の半球形の容器（へりの大円が上部，水平におかれている）に水がいっぱい入っている．ここから水をくみ出すのに，水面の下がる速さを $v\text{cm}/\text{秒}$（一定）にしたい（もちろん，からになる時点までの範囲に限定する）．
\begin{enumerate}
 \item　$t$ 秒間にくみ出す水の量はどれだけか．ただし $0\leqq t\leqq\dfrac{10}{v}$
 \item　$t$ 秒後において水をくみ出す速さはどれだけか，単位は $\text{cm}^3/\text{秒}$ で求めよ．ただし $0<t<\dfrac{10}{v}$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$t$秒後に残っている水の量は\\
底面から、$10-vt\rm{cm}$の高さまでの水の量\\
これは、$(x-10)^2+y^2=10^2$の円の$x>0$の部分とと、$x=vt$の直線で囲まれる図形を$x$軸に回転させて得られる図形の体積に等しい。\\
したがって、この体積は\\
$$\dint_0^{10-vt} \pi y^2\;dx=\dint_0^{10-vt} \pi(20x-x^2)\;dx$$
\begin{eqnarray*}
\dint_0^{10-vt}\pi(20x-x^2) \;dx&=&\pi\left[\dfrac{-2x^3+60x^2}{6}\right]_0^{10-vt}\\
&=&\dfrac{\pi({vt}-10)^{2}(vt+20)}{3}\\
&=&\pi\left(\dfrac{v^3t^3-300vt+2000}{3}\right)
\end{eqnarray*}
したがって、$t$秒間に汲み出す水の量は\\
半球の体積$\dfrac{2\pi 10^3}{3}=\dfrac{2000\pi}{3}$から\\
残っている量$\pi\left(\dfrac{v^3t^3-300vt+2000}{3}\right)$を引いたものだから\\
$\pi\left(\dfrac{-v^3t^3+300vt}{3}\right)$\\
この時の汲み出す速度は
$f(t)=\pi\left(\dfrac{-v^3t^3+300vt}{3}\right)$を$t$について微分したものなので
$f'(t)=\pi v(100-v^2t^2)$
よって、汲み出す速度は\\
$$\pi v(100-v^2t^2)\;\rm{cm}^3/\text{秒}$$

\end{document}

