%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{minipage}
{\linewidth-13zw}
　底の断面の形が曲線 $y=x^4-6p^2x^2-8q^3x$（$p>0$，$q\geqq 0$）の形の容
器がある．（$y$ 軸は鉛直，正の方向を上方にとり，$x$ 軸は水平にとる．）最
初 $q=0$ のときは，大体右図の形になっているので，図の点Aの位置に小球をお
く．ここで，$p$ は固定したまま，$q$ の値をだんだん大きくしていって，ある
値を越えたら，この小球は右側のくぼみに転落した．この値を $p$ を用いて表
わせ．\\
\end{minipage}
\hfill
\includegraphics[width=12zw,clip]{1974s_3.eps}\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=x^4-6p^2x^2-8q^3x$とおく。\\
$f(x)$を$x$で微分すると、\\
$f'(x)=4x^3-12p^2x-8q^3$\\
$q=0$の時、\\
$f'(x)=4x^3-12p^2x=4x(x^2-3p^2)=4x(x-\sqrt{3}p)(x+\sqrt{3}p)$\\
と因数分解できるので、$f'(x)=0$の解は\\
$x=0,\pm \sqrt{3}p$\\
したがって、図の左側のくぼみの底の部分、点Aが存在する場所の$x$座標は、$-\sqrt{3}p$\\
$q$が大きくなっても、球が右側のくぼみに転落しないためには、極値が３つ存在すればいい\\
つまり、極地の$x$の値を小さい方から、$a\leqq b \leqq c$とすると、$f(a)<f(b)$であれば、球は、$f(a)$の位置から移動しない。\\
また、極値が二つになった場合、$a=b$と、$b=c$が考えられるが、$b=c$では、右側のくぼみというものが存在しなくなるので\\
$a=b \neq c$の時に球は転落する。\\
つまり、右側のくぼみに転落したのは、極値が$a,b$が一致した瞬間となる。\\
そのとき、$f'(x)=4(x-a)^2(x-c)$なので\\
$f'(x)=4x^3-4cx^2-8ax^2+8acx+4a^2x-4a^2c$\\
これが、$4x^3-12p^2x-8q^3$と一致するので、\\
\begin{eqnarray*}
-4c-8a&=&0\\
8ac+4a^2&=&-12p^2\\
-4a^2c&=&-8q^3
\end{eqnarray*}
が必要。\\
この式を変形して、\\
\begin{eqnarray}
c&=&-2a\\
2ac+a^2&=&-3p^2\\
a^2c&=&2q^3
\end{eqnarray}
(1)を(2)(3)に代入して、
\begin{eqnarray*}
-3a^2&=&-3p^2\\
-2a^3&=&2q^3
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
a^2&=&p^2\\
-a^3&=&q^3
\end{eqnarray*}
$p>0,q \geqq 0$より\\
$a=\pm p$\\
$a$は実数なので、\\
$q=-a$\\
したがって、$q=\mp p$となるが、\\
$p>0,q \geqq 0$より\\
$q=p$\\
このとき、$f'(x)=4x^3-12p^2x-8p^3=4(x-2p)(x+p)^2$となり、たしかに、$x=-p$の重解を持つ、\\
したがって、球は、$x=2p$のくぼみに転落する。\\
\end{document}

