%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1974年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$F(x)$，$g(x)$ が $x$ の多項式で，次の三条件をみたすものとする．$F(x)$ および $g(x)$ を求めよ．\\
（イ）$\dfrac{dF(x)}{dx}=g(x)$．\\
（ロ）$F(x)$ は $g(x)$ で割り切れる．\\
（ハ）$g(x)$ は $n$ 次式で，$x^n$ の係数は 1，$x^{n-1}$ の係数は 0 である．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$g(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+ \cdots +a_1x+a_0$
とおく\\
$g(x)=0$の解を$b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$とすると\\
$g(x)=(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)\cdots(x-b_n)$と因数分解される。\\
したがって、$x^{n-1}$の係数は$-b_1-b_2-b_3-\cdots-b_n$となりこれが0である。\\
$\dfrac{dF(x)}{dx}=g(x)$より
$F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{1}{n-1}a_{n-2}x^{n-1}+ \cdots +\dfrac{1}{2}a_1x^2+a_0x+c$
となる。\\
ここで、$F(x)$が$g(x)$で割り切れることから、\\
$F(x)$は$n+1$次の多項式なので\\
$F(x)=t(x-b)g(x)$とかけるので\\
$F(x)=t(x-b)(x-b_1)(x-b_2)(x-b_3)\cdots(x-b_n)$となる。\\
$x^{n+1}$の係数は$\dfrac{1}{n+1}$だから、$t=\dfrac{1}{n+1}$\\
$x^n$の係数は$t(-b-b_1-b_2-b_3-\cdots-b_n)$となるが、$F(x)$の展開から、これは０なので\\
$t(-b-b_1-b_2-b_3-\cdots-b_n)=0$\\
$-b_1-b_2-b_3-\cdots-b_n=0$なので
$t(-b)=0$\\
しかし、$t \neq 0$なので、$b=0$\\
したがって、$F(x)=\dfrac{1}{n+1}xg(x)$\\
よって\\
$\dfrac{dF(x)}{dx}=\dfrac{1}{n+1}(g(x)+xg'(x))=g(x)$であるから\\
$xg'(x)=ng(x)$\\
$xg'(x)=nx^n+(n-2)a_{n-2}x^{n-2} \cdots +a_1x$\\
$ng(x)=nx^n+na_{n-2}x^{n-2}+ \cdots +na_1x+na_0$\\
となり、係数がすべて一致しなければならないので\\
\begin{eqnarray*}
(n-2)a_{n-2}&=&na_{n-2}\\
(n-3)a_{n-3}&=&na_{n-3}\\
&\vdots&\\
a_1&=&na_1\\
0&=&na_0
\end{eqnarray*}
したがって、$a_0$から$a_{n-2}$はすべて0\\
以上より、\\
$$g(x)=x^n$$
したがって\\
$F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+c$であるが、$g(x)$で割り切れることから
$$F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$$
\end{document}

