%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
直角をはさむ2つの半直線OA，OB上にそれぞれ点P，Qを，$\text{PQ}=2a$（$a$ は正の定数）であるようにとる．\\
このとき，$\triangle$OPQの面積を最大にするには線分OPの長さをいくらにすればよいか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$\overline{\text{OP}}=l$,$\overline{\text{OQ}}=m$とおく。\\
$\triangle \text{OPQ}$は直角をはさむ三角形なので\\
$l^2+m^2=4a^2$\\
$l\geqq 0 ,m \geqq 0 ,a>$なので、$0\leqq l \leqq 2a$\\
$m\geqq 0$より$m=\sqrt{4a^2-l^2}$\\
$\triangle$OPQの面積は\\
$\dfrac{lm}{2}$なので\\
$f(l)=\dfrac{l\sqrt{4a^2-l^2}}{2}$として\\
$f'(l)=-\dfrac{l^2-2a^2}{\sqrt{4a^2-l^2}}$\\

$0\leqq l \leqq 2a$より$4a^2-l^2>0$なので
$f'(l)$の正負は$2a^2-l^2$の正負と一致する。\\
$(2a^2-l^2)=(\sqrt{2}a+l)(\sqrt{2}a-l)$\\
$a>0,l\geqq 0$なので\\
$\sqrt{2}a+l>0$\\
したがって、この正負は$\sqrt{2}a-l$の正負と一致する。\\
つまり\\
$\sqrt{2}a-l>0 \quad \to\quad \sqrt{2}a>l$の範囲で、正\\
$\sqrt{2}a-l<0 \quad \to\quad \sqrt{2}a<l$の範囲で、負\\
$\sqrt{2}a=l$の時0となる。\\
よって、$f(l)$は、\\
$l<\sqrt{2}a$で単調増加\\
$l=\sqrt{2}a$で極大\\
$l>\sqrt{2}a$で単調減少\\
となる。\\
よって、$0 \leqq l \leqq 2a$の区間では、$l=\sqrt{2}a$の点で最大となる。\\
以上より\\
$\triangle$OPQの面積を最大にするには、線分OPの長さを$\sqrt{2}a$とすればよい。\\
\end{document}
