%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$f(x)=x^3-5x^2+3x+a$ とする．$x$ の正の値に対し，つねに $f(x)>0$ となるのはどのようなときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$f'(x)=3x^2-10x+3=(x-3)(3x-1)$\\
より\\
$f(x)$は、\\
$x<\dfrac{1}{3}$で単調増加\\
$x=\dfrac{1}{3}$で極大\\
$\dfrac{1}{3}<x<3$で単調減少\\
$x=3$で極小\\
$3<x$で単調増加\\
となる。\\
したがって、$x>0$における最小値は\\
$f(0)$と$f(3)$の小さい方\\
$f(0)=a$\\
$f(3)=a-9$\\
なので、$a-9<a$\\
したがって、$a-9>0$のとき、つまり$a>9$のとき、$x$の正の値に対して$f(x)>0$となる。\\

\end{document}

